Movimento helicoidal
Um corpo realiza um movimento helicoidal descrito por:
r(t)=R cos (omega t) i+R sin (omega t) j+v t k
com R=5 m, omega=2 rad / s, v=3 m / s.
a) Interprete fisicamente o movimento.
b) Encontre a velocidade e a aceleração vetorial no instante t=1 s.
c) Mostre que o vetor velocidade é tangente à trajetória.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento helicoidal dado por
r(t)=Rcos(omega t),i+Rsin(omega t),j+v,t,k
com R=5 m, omega=2 rad/s e v=3 m/s.
O conteúdo é cinemática vetorial: vamos precisar calcular derivadas para obter velocidade e aceleração, interpretar o tipo de movimento e usar a definição de vetor tangente à curva.

Passo 2

Fisicamente esse movimento é a sobreposição de um movimento circular uniforme de raio R=5 m e velocidade angular omega=2 rad/s no plano xy, com um movimento retilíneo uniforme de velocidade v=3 m/s na direção z. O resultado é uma hélice ascendente ao longo do eixo z.

Passo 3

Calculamos a velocidade v(t) e a aceleração a(t) pelas derivadas de r(t):
v(t)=drdt =-Romegasin(omega t),i+Romegacos(omega t),j+v,k
a(t)=dvdt =-Romega^2cos(omega t),i-Romega^2sin(omega t),j+0,k

Passo 4

No instante t=1 s temos omega t=2 rad. Então
sin(2)approx0,9093, cos(2)approx-0,4161
e
v(1) =-5cdot2cdot0,9093,i +5cdot2cdot(-0,4161),j +3,k approx -9,09,i-4,16,j+3,k
a(1) =-5cdot4cdot(-0,4161),i -5cdot4cdot0,9093,j approx 8,32,i-18,19,j

Passo 5

O vetor velocidade é justamente v(t)=dr/dt, e por definição de curva paramétrica isso é o vetor tangente à trajetória. Alternativamente, se definirmos o versor tangente
T(t)=v(t)|v(t)|,
vemos que v(t) e T(t) são paralelos. Logo v(t) é sempre tangente à hélice.

Resposta

a) É o movimento helicoidal: circular uniforme no plano xy de raio 5 m e ascendente uniformemente em z com v=3 m/s.
b) v(1)approx -9,09,i-4,16,j+3,k,
a(1)approx 8,32,i-18,19,j.
c) Como v(t)=dr/dt, ele aponta na direção do vetor tangente à curva, logo é tangente à trajetória.

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