Trajetória de uma partícula
Uma partícula se move no espaço com a posição dada pela função vetorial:
r(t)=2 t^2 i+3 t j+4 k, t >= 0
a) Determine a posição da partícula no instante t=2 s.
b) Calcule a velocidade vetorial v(t).
c) Calcule a aceleração vetorial a(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a posição vetorial
r(t)=2t^2i+3tj+4k para t>=0 e pede:
a) a posição em t=2 s,
b) o vetor velocidade v(t),
c) o vetor aceleração a(t).
Usaremos cálculo vetorial componente a componente: a derivada primeira de r(t) é v(t) e a derivada segunda é a(t).

Passo 2

Para encontrar a posição em t=2 substituímos t=2 em r(t):
r(2)=2cdot(2)^2i+3cdot2j+4k =8i+6j+4k

Passo 3

Para obter a velocidade vetorial calculamos a derivada de r(t) em relação a t, ou seja v(t)=dfracdrdt. Derivando componente a componente:
v(t) =ddt(2t^2i)+ddt(3tj)+ddt(4k) =4ti+3j

Passo 4

Para a aceleração vetorial calculamos a derivada de v(t) em relação a t, ou seja a(t)=dfracdvdt. Derivando componente a componente:
a(t) =ddt(4ti+3j) =4i

Resposta

a) r(2)=8i+6j+4k
b) v(t)=4ti+3j
c) a(t)=4i

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