Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar a periodicidade da sequência discreta
O conteúdo envolvido é “sinais discretos e periodicidade em tempo discreto”. Para decidir se
é periódica, vamos usar uma identidade trigonométrica e em seguida o critério de periodicidade para cossenos em tempo discreto.
Passo 2
Aplicamos a identidade
com
Logo
Isto é
Passo 3
Em tempo discreto, um termo
é periódico se existe um inteiro
tal que
para algum
.
Aqui temos duas frequências:
Aqui temos duas frequências:
Para que
seja periódica, deve existir
e inteiros
tais que simultaneamente
Passo 4
Escrevendo essas equações, temos
Igualando as duas expressões para
surge
Mas
é irracional, enquanto
seria racional. Essa contradição mostra que não existe
satisfazendo as duas condições ao mesmo tempo.
Resposta
A sequência
não é periódica.