Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=2 \cos \left(\frac{n}{8}+\frac{\pi}{5}\right) \cos \left(\frac{n \pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a periodicidade da sequência discreta
x(n) = 2 \cos\!\bigl(\tfrac{n}{8} + \tfrac{\pi}{5}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8} + \tfrac{\pi}{5}\bigr).
O conteúdo envolvido é “sinais discretos e periodicidade em tempo discreto”. Para decidir se x(n) é periódica, vamos usar uma identidade trigonométrica e em seguida o critério de periodicidade para cossenos em tempo discreto.

Passo 2

Aplicamos a identidade
2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B),
com
A = \tfrac{n}{8} + \tfrac{\pi}{5}, \quad B = \tfrac{n\pi}{8} + \tfrac{\pi}{5}.
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x(n) = \cos\!\Bigl(\tfrac{n}{8} + \tfrac{n\pi}{8} + \tfrac{2\pi}{5}\Bigr) + \cos\!\Bigl(\tfrac{n}{8} - \tfrac{n\pi}{8}\Bigr).
Isto é
x(n) = \cos\!\Bigl(n\cdot\tfrac{1+\pi}{8} + \tfrac{2\pi}{5}\Bigr) + \cos\!\Bigl(n\cdot\tfrac{1-\pi}{8}\Bigr).

Passo 3

Em tempo discreto, um termo \cos(\omega n + \varphi) é periódico se existe um inteiro N>0 tal que
\omega\,N = 2\pi\,m,
para algum m\in\mathbb{Z}.
Aqui temos duas frequências:
\omega_1 = \tfrac{1+\pi}{8}, \quad \omega_2 = \tfrac{1-\pi}{8}.
Para que x(n) seja periódica, deve existir N\in\mathbb{Z}^+ e inteiros k,l tais que simultaneamente
\omega_1 N = 2\pi k \quad\text{e}\quad \omega_2 N = 2\pi l.

Passo 4

Escrevendo essas equações, temos
\tfrac{1+\pi}{8}\,N = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad N = \tfrac{16\pi\,k}{1+\pi},
\tfrac{1-\pi}{8}\,N = 2\pi l \quad\Longrightarrow\quad N = \tfrac{16\pi\,l}{1-\pi}.
Igualando as duas expressões para N surge
\tfrac{k}{1+\pi} = \tfrac{l}{1-\pi} \quad\Longrightarrow\quad \pi = \frac{k-l}{\,k+l\,}.
Mas \pi é irracional, enquanto \tfrac{k-l}{k+l} seria racional. Essa contradição mostra que não existe N\in\mathbb{Z}^+ satisfazendo as duas condições ao mesmo tempo.

Resposta

A sequência x(n) não é periódica.

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