Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=\cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)-\sin \left(\frac{n \pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right)-3 \cos \left(\frac{n \pi}{4}+\frac{\pi}{5}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência discreta
x(n)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\;-\;\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8}+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\;-\;3\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}+\tfrac{\pi}{5}\bigr)
e pede para decidir se ela é periódica. Como em sinais discretos cada termo é periódico se existir inteiro positivo N tal que, ao substituir n por n+N, o argumento de cada função trigonométrica mude por um múltiplo inteiro de 2\pi. Vamos achar o período fundamental de cada termo e depois o período comum.

Passo 2

Para \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) queremos \tfrac{(n+N)\pi}{2} = \tfrac{n\pi}{2} + 2\pi k com inteiro k.
Isto é
\tfrac{N\pi}{2} = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad N = 4k.
O menor N>0 ocorre para k=1, logo o período fundamental deste termo é
N_1 = 4.

Passo 3

Para \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8}+\tfrac{\pi}{5}\bigr) precisamos \tfrac{(n+N)\pi}{8} + \tfrac{\pi}{5} = \tfrac{n\pi}{8} + \tfrac{\pi}{5} + 2\pi m.
Assim
\tfrac{N\pi}{8} = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad N = 16m.
O menor N>0 para m=1 é
N_2 = 16.

Passo 4

Para \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}+\tfrac{\pi}{5}\bigr) queremos \tfrac{(n+N)\pi}{4} + \tfrac{\pi}{5} = \tfrac{n\pi}{4} + \tfrac{\pi}{5} + 2\pi p.
Logo
\tfrac{N\pi}{4} = 2\pi p \quad\Longrightarrow\quad N = 8p.
O menor N>0 para p=1 é
N_3 = 8.

Passo 5

A sequência total será periódica se houver N que seja múltiplo de N_1, N_2 e N_3. O menor múltiplo comum de 4, 16 e 8 é
\mathrm{m.m.c.}(4,16,8)=16.
Portanto o menor período inteiro positivo de x(n) é 16.

Resposta

A sequência é periódica, com período fundamental N=16.

Exercícios relacionados