Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
b) g: R^2 R^2
(x, y) (x y,-y)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função chamada que pega um par de números reais e transforma em outro par . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, o que exatamente é uma transformação linear? Uma transformação que vai de um espaço vetorial para outro é dita linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Se a função cumprir essas duas propriedades, então é uma transformação linear. Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a aditividade. Ou seja, precisamos ver se:
g(u + v) = g(u) + g(v)
Vamos considerar dois vetores quaisquer em g(u + v) = g(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)(y1 + y2), -(y1 + y2)) , digamos (x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 e g(u) + g(v) = (x1 y1, -y1) + (x2 y2, -y2) = (x1 y1 + x2 y2, -y1 - y2) .
Calculando o lado esquerdo:
g(u + v) = (x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2, -y1 - y2)
Expandindo o primeiro componente:
g(u) + g(v) = (x1 y1 + x2 y2, -y1 - y2)
Agora, calculando o lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que:
Perceba que os termos e estão no lado esquerdo, mas não no direito. Isso já indica que a aditividade não está sendo respeitada.

Passo 4

Mesmo que a aditividade já tenha falhado, vamos verificar a homogeneidade para completar o entendimento.
Precisamos verificar se:
g(cu) = c g(u)
Para um escalar g(c x, c y) = (c x cdot c y, -c y) = (c^2 x y, -c y) e vetor c g(u) = c (x y, -y) = (c x y, -c y) .
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Comparando, vemos que o primeiro componente do lado esquerdo é e do lado direito é . A menos que ou , esses termos não são iguais. Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função definida por não é uma transformação linear, pois não respeita as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser considerada linear.

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