Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
b)
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função chamada
que pega um par de números reais
e transforma em outro par
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, o que exatamente é uma transformação linear? Uma transformação
que vai de um espaço vetorial
para outro
é dita linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Se a função
cumprir essas duas propriedades, então é uma transformação linear. Vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a aditividade. Ou seja, precisamos ver se:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Expandindo o primeiro componente:
Agora, calculando o lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que:
Perceba que os termos
e
estão no lado esquerdo, mas não no direito. Isso já indica que a aditividade não está sendo respeitada.
Passo 4
Mesmo que a aditividade já tenha falhado, vamos verificar a homogeneidade para completar o entendimento.
Precisamos verificar se:
Para um escalar
e vetor
.
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Comparando, vemos que o primeiro componente do lado esquerdo é
e do lado direito é
. A menos que
ou
, esses termos não são iguais. Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A função
definida por
não é uma transformação linear, pois não respeita as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser considerada linear.