Sejam alpha=1,1-x, x^2+1 e beta=2,1+x, x^2 bases de P2.
b) Sendo p(x) um polinômio de grau 2 e [p(x)]beta=[l0 1 0], encontre [p(x)]alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas bases, alpha = 1, 1 - x, x^2 + 1 e beta = 2, 1 + x, x^2, para o espaço dos polinômios de grau 2, P2. A gente precisa encontrar as coordenadas de um polinômio p(x) em relação à base alpha, dado que suas coordenadas em relação à base beta são 0 1 0. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra, ou seja, realizar uma mudança de coordenadas entre as bases beta e alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa [p(x)]beta = 0 1 0. Isso quer dizer que o polinômio p(x) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base beta:
p(x) = 0 cdot 2 + 1 cdot (1 + x) + 0 cdot x^2 = 1 + x
Então, p(x) = 1 + x.

Passo 3

Agora, queremos expressar p(x) = 1 + x na base alpha = 1, 1 - x, x^2 + 1. Ou seja, precisamos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
p(x) = a cdot 1 + b cdot (1 - x) + c cdot (x^2 + 1)
Isso nos dá a equação:
1 + x = a + b(1 - x) + c(x^2 + 1)

Passo 4

Vamos expandir a equação:
1 + x = a + b - b x + c x^2 + c
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
1 + x = (a + b + c) + (-b)x + c x^2

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos polinômios de cada grau devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
c = 0 & (coeficiente de x^2) -b = 1 & (coeficiente de x) a + b + c = 1 & termo constante

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, c = 0.
  2. Da segunda equação, -b = 1 implica b = -1.
  3. Substituindo b e c na terceira equação: a + (-1) + 0 = 1 implies a - 1 = 1 implies a = 2

Resposta

Portanto, as coordenadas de p(x) na base alpha são:
[p(x)]alpha = 2 -1 0

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