Sejam alpha=1,1-x, x^2+1 e beta=2,1+x, x^2 bases de P2.
a) Encontre a matriz [I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base em espaços vetoriais. Temos duas bases do espaço dos polinômios de grau até 2, chamado de alpha = 1, 1 - x, x^2 + 1 . As bases são:
beta = 2, 1 + x, x^2
A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da identidade, ou seja, a matriz . Basicamente, isso significa descobrir como cada vetor da base se expressa na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar 1 = a cdot 2 + b cdot (1 + x) + c cdot x^2 . Essa matriz vai nos mostrar os coeficientes necessários para escrever cada vetor da base 1 = 2a + b como uma combinação linear dos vetores da base 0 = b .
Vamos começar pegando cada elemento de 0 = c e tentando expressá-lo usando os vetores de 1 - x = a cdot 2 + b cdot (1 + x) + c cdot x^2 .
1. Expressando o primeiro vetor de 1 = 2a + b :
-1 = b
Aqui, queremos encontrar os valores de 0 = c , x^2 + 1 = a cdot 2 + b cdot (1 + x) + c cdot x^2 e 1 = 2a + b que satisfazem essa igualdade. Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Termo constante:
0 = b
  • Termo de 1 = c :
  • Termo de :
Agora, resolvendo essas equações:
  • De , temos .
  • De , temos .
  • Substituindo na primeira equação: .
Então, o primeiro vetor de na base é .
2. Expressando o segundo vetor de :
Igualando os coeficientes:
  • Termo constante:
  • Termo de :
  • Termo de :
Resolvendo:
  • De .
  • De .
  • Substituindo na primeira equação: .
Então, o segundo vetor de na base é .
3. Expressando o terceiro vetor de :
Igualando os coeficientes:
  • Termo constante:
  • Termo de :
  • Termo de :
Resolvendo:
  • De .
  • De .
  • Substituindo na primeira equação: .
Então, o terceiro vetor de na base é .

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de [I]alpha^beta = 12 & 1 & 12 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que encontramos para os vetores de .

Resposta

A matriz [I]alpha^beta = 12 & 1 & 12 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 é:

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