Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base em espaços vetoriais. Temos duas bases do espaço dos polinômios de grau até 2, chamado de . As bases são:
A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da identidade, ou seja, a matriz . Basicamente, isso significa descobrir como cada vetor da base se expressa na base .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar . Essa matriz vai nos mostrar os coeficientes necessários para escrever cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .
Vamos começar pegando cada elemento de e tentando expressá-lo usando os vetores de .
1. Expressando o primeiro vetor de :
Aqui, queremos encontrar os valores de , e que satisfazem essa igualdade. Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Termo constante:
Termo de :
Termo de :
Agora, resolvendo essas equações:
De , temos .
De , temos .
Substituindo na primeira equação: .
Então, o primeiro vetor de na base é .
2. Expressando o segundo vetor de :
Igualando os coeficientes:
Termo constante:
Termo de :
Termo de :
Resolvendo:
De .
De .
Substituindo na primeira equação: .
Então, o segundo vetor de na base é .
3. Expressando o terceiro vetor de :
Igualando os coeficientes:
Termo constante:
Termo de :
Termo de :
Resolvendo:
De .
De .
Substituindo na primeira equação: .
Então, o terceiro vetor de na base é .
Passo 3
Agora que temos as coordenadas de cada vetor de na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que encontramos para os vetores de .