Sejam alpha=(1,0,0),(0,2,1),(0,0,1) e beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2) bases de R^3. Encontre a matriz [I]beta^alpha. Usando [I]beta^alpha, encontre [v]beta, onde [v]alpha=(l0 1 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha entre duas bases alpha e beta do espaço R^3. Depois, usando essa matriz, precisamos encontrar as coordenadas do vetor v na base beta, sabendo que ele tem coordenadas [v]alpha = 0 1 0 na base alpha. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar as coordenadas entre bases diferentes usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as matrizes das bases alpha e beta. Cada coluna dessas matrizes será um dos vetores que formam a base.
A matriz da base alpha é:
A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1
E a matriz da base beta é:
B = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Passo 3

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha transforma coordenadas da base alpha para a base beta. Para encontrá-la, precisamos achar a matriz inversa de B e multiplicar pela matriz A:
[I]beta^alpha = B^-1 cdot A
Vamos calcular B^-1 primeiro. A matriz B é:
B = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
A inversa de B, B^-1, é:
B^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 12
Agora, multiplicamos B^-1 por A:
[I]beta^alpha = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 12 cdot 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 = 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 12 & 12

Passo 4

Agora que temos a matriz [I]beta^alpha, podemos usá-la para encontrar [v]beta. A relação entre as coordenadas nas bases alpha e beta é dada por:
[v]beta = [I]beta^alpha cdot [v]alpha
Substituindo os valores:
[v]beta = 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 12 & 12 cdot 0 1 0 = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 -1 cdot 0 + 2 cdot 1 + 0 cdot 0 0 cdot 0 + 12 cdot 1 + 12 cdot 0 = 0 2 12

Resposta

As coordenadas do vetor v na base beta são:
[v]beta = 0 2 12

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