Sejam e bases de . Encontre a matriz . Usando , encontre , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha entre duas bases alpha e beta do espaço R^3. Depois, usando essa matriz, precisamos encontrar as coordenadas do vetor v na base beta, sabendo que ele tem coordenadas [v]alpha = 0 1 0 na base alpha. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar as coordenadas entre bases diferentes usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos montar as matrizes das bases alpha e beta. Cada coluna dessas matrizes será um dos vetores que formam a base.
A matriz da base alpha é:
A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1
E a matriz da base beta é:
B = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Passo 3
A matriz de mudança de base [I]beta^alpha transforma coordenadas da base alpha para a base beta. Para encontrá-la, precisamos achar a matriz inversa de B e multiplicar pela matriz A: