Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer saber se a função
definida de matrizes
para matrizes
é uma transformação linear. Ou seja, a gente precisa verificar se essa função preserva as operações de adição de matrizes e de multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear deve obedecer duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todas as matrizes e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e toda matriz .
Vamos analisar a função
passo a passo para ver se ela atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos examinar a aditividade. Vamos considerar duas matrizes genéricas
e
em
:
Aplicando a função
a cada uma:
Agora, somando
:
Aplicando
na soma:
Agora, somando
:
Comparando
com
, vemos que:
Então, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 3
Mesmo que a aditividade já tenha falhado, vamos verificar a homogeneidade para ter certeza. Consideremos um escalar
e uma matriz
:
Aplicando a função
:
Multiplicando
por
:
Aplicando
em
:
Agora, multiplicando
por
:
Comparando
com
:
Assim, a propriedade de homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.