Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
d) k: M(2,2) M(2,2)
[ll a & b c & d ] [ll a & b c & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer saber se a função definida de matrizes para matrizes é uma transformação linear. Ou seja, a gente precisa verificar se essa função preserva as operações de adição de matrizes e de multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear deve obedecer duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todas as matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e toda matriz .
Vamos analisar a função passo a passo para ver se ela atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos examinar a aditividade. Vamos considerar duas matrizes genéricas A = a & b c & d , B = e & f g & h e k(A) = a & b c & 1 , k(B) = e & f g & 1 em A + B = a+e & b+f c+g & d+h :
k(A + B) = a+e & b+f c+g & 1
Aplicando a função k(A) + k(B) = a+e & b+f c+g & 1+1 = a+e & b+f c+g & 2 a cada uma:
a+e & b+f c+g & 1 neq a+e & b+f c+g & 2
Agora, somando :
Aplicando na soma:
Agora, somando :
Comparando com , vemos que:
Então, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 3

Mesmo que a aditividade já tenha falhado, vamos verificar a homogeneidade para ter certeza. Consideremos um escalar A = a & b c & d e uma matriz k(A) = a & b c & 1 :
cA = ca & cb cc & cd
Aplicando a função k(cA) = ca & cb cc & 1 :
c cdot k(A) = c cdot a & b c & 1 = ca & cb cc & c
Multiplicando ca & cb cc & 1 neq ca & cb cc & c por :
Aplicando em :
Agora, multiplicando por :
Comparando com :
Assim, a propriedade de homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.

Exercícios relacionados