Os planos pi1: y+z=0 e pi2: 4 x+y-z+3=0 se interceptam na reta r dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta r ?
d) r: 2 x+32=-y=z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações de planos:
pi1: y + z = 0
pi2: 4x + y - z + 3 = 0
A gente precisa encontrar uma equação que descreva a reta onde esses dois planos se interceptam. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos para encontrar as coordenadas que pertencem à reta y + z = 0 implies z = -y . Vamos usar o método de substituição.
Da primeira equação 4x + y - (-y) + 3 = 0 implies 4x + 2y + 3 = 0 :
2y = -4x - 3 implies y = -4x - 32
Agora, substituímos y = -4t - 32 na segunda equação z = -y = 4t + 32 :
Resolvendo para :
Agora, temos e em termos de . Vamos deixar como parâmetro (ou seja, ).
Então:

Passo 3

Agora, vamos expressar essas relações na forma paramétrica da reta x = t :
y = -4t - 32
z = 4t + 32
x = t
Para deixar mais claro, podemos reescrever essas equações assim:
y = -2t - 32
z = 2t + 32

Passo 4

Vamos organizar essas equações em uma forma que se pareça com as alternativas dadas. Observando as expressões para 2x + 32 = -y = z e , percebemos que podemos relacioná-las diretamente com :

Resposta

A alternativa d)
r: 2x + 32 = -y = z
representa uma equação da reta .

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