Considere a reta
O plano que é ortogonal a
e passa pelo ponto
é:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria no espaço. A questão fala sobre encontrar o plano que é ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada e que passa por um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas, planos, vetores diretores e como relacioná-los usando equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
Essa é uma forma de equação paramétrica de uma reta no espaço. Para trabalhar com ela, vamos reescrever de uma maneira mais familiar. Vamos chamar cada uma dessas partes de igual a um parâmetro
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está “apontando”. Pela equação paramétrica, o vetor diretor
é dado pelos coeficientes de
:
Passo 4
Como o plano que queremos é ortogonal à reta
, isso significa que o vetor diretor da reta é normal ao plano. Em outras palavras,
será o vetor normal
do plano.
Então, temos:
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto
pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde
é o ponto
e
são as componentes do vetor normal.
Passo 6
Substituindo os valores:
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Para deixar a equação mais limpa, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Mas geralmente, mantemos os coeficientes mais simples. Observando a opção c) que foi fornecida:
Perceba que essa equação é equivalente à que encontramos se ajustarmos os sinais:
Resposta
A equação do plano é
.