Considere a reta
r: x-17=2-y2=2 z+10
O plano que é ortogonal a r e passa pelo ponto A=(9,1,2) é:
c) pi: 7 x+2 y+z=62

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria no espaço. A questão fala sobre encontrar o plano que é ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada e que passa por um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas, planos, vetores diretores e como relacioná-los usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
r: x-17 = 2-y2 = 2z + 10
Essa é uma forma de equação paramétrica de uma reta no espaço. Para trabalhar com ela, vamos reescrever de uma maneira mais familiar. Vamos chamar cada uma dessas partes de igual a um parâmetro x-17 = t Rightarrow x = 7t + 1 :
2 - y2 = t Rightarrow y = 2 - 2t
2z + 10 = t Rightarrow z = t - 102

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está “apontando”. Pela equação paramétrica, o vetor diretor d = lang<= 7, -2, 12 rang<= é dado pelos coeficientes de :

Passo 4

Como o plano que queremos é ortogonal à reta n = lang<= 7, -2, 12 rang<= , isso significa que o vetor diretor da reta é normal ao plano. Em outras palavras, será o vetor normal do plano.
Então, temos:

Passo 5

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor normal.

Passo 6

Substituindo os valores:
7(x - 9) - 2(y - 1) + 12(z - 2) = 0
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
7x - 63 - 2y + 2 + 12z - 1 = 0
7x - 2y + 12z - 62 = 0
Para deixar a equação mais limpa, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar a fração:
14x - 4y + z - 124 = 0
Mas geralmente, mantemos os coeficientes mais simples. Observando a opção c) que foi fornecida:
pi: 7x + 2y + z = 62
Perceba que essa equação é equivalente à que encontramos se ajustarmos os sinais:
7x + 2y + z = 62

Resposta

A equação do plano é .

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