Determine se as seguintes funções são transformações lineares:
h: M(2,2, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} onde h\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right),

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação \displaystyle h\colon M(2,2,\mathbb{R})\to\mathbb{R}
definida por
h\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) =\det\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) =ad - bc.
O conteúdo aqui é verificar se h satisfaz as duas condições de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição, uma aplicação linear T entre espaços vetoriais deve satisfazer, para quaisquer vetores X,Y e escalar \lambda:
T(X+Y)=T(X)+T(Y), \quad T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Vamos checar essas duas propriedades para h.

Passo 3

Começando pela homogeneidade, tome A\in M(2,2,\mathbb{R}) qualquer e \lambda\in\mathbb{R}.
Temos
h(\lambda A) =\det(\lambda A) =\lambda^2\det(A),
pois fatorar \lambda em cada linha da matriz 2\times 2 gera \lambda^2.
Por outro lado,
\lambda\,h(A)=\lambda\,\det(A).
Para que h fosse linear, precisaríamos de \det(\lambda A)=\lambda\,\det(A); mas na verdade \det(\lambda A)=\lambda^2\det(A).

Passo 4

Um contraexemplo numérico basta: escolha
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad \lambda=2.
Então
h(\lambda A)=\det\bigl(2I\bigr)=\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} =4,
mas
\lambda\,h(A)=2\cdot\det(I)=2\cdot1=2.
Como 4\neq2, a homogeneidade falha.

Passo 5

Bastou falhar a segunda condição para concluir que h não é linear.

Resposta

A função h não é transformação linear.

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