Questão 2. (Valor 2,0) Mostre os casos a seguir:
a) Em \mathrm{P}_{2}, mostre que o conjunto \left\{1+x+x^{2}, 1-x+3 x^{2}, 1+3 x-x^{2}\right\} é LI ou LD. Sendo LD escreva um como combinação linear do outro.
b) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u, u+v, u+v+w são LI.

Passo 1

O enunciado envolve dois casos de independência linear (LI) em espaços vetoriais. No item (a) estamos em \mathrm P_{2} (polinômios de grau <=2) e devemos verificar se o conjunto \{p_{1},p_{2},p_{3}\}=\{1+x+x^{2},\,1-x+3x^{2},\,1+3x-x^{2}\}
é LI ou linearmente dependente (LD). Se for LD, expressamos um dos polinômios como combinação linear dos outros.
No item (b) temos vetores u,v,w LI num espaço vetorial qualquer e devemos mostrar que \{u,\;u+v,\;u+v+w\}
é LI. Para isso vamos usar a definição: um conjunto é LI se a única solução de uma combinação linear igual a zero é a trivial.

Passo 2

(Item a) Escrevemos a combinação linear genérica
a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}=0
onde 0 é o polinômio nulo. Substituindo p_{1}=1+x+x^{2}, p_{2}=1-x+3x^{2} e p_{3}=1+3x-x^{2}, obtemos
a(1+x+x^{2})+b(1-x+3x^{2})+c(1+3x-x^{2})=0.
Agora agrupamos coeficientes de 1, x e x^{2}.

Passo 3

Do polinômio acima segue o sistema
\begin{cases} a+b+c=0,\\\ a - b +3c=0,\\\ a+3b -c=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira vem 2b-2c=0\Rightarrow b=c. Substituindo em a+b+c=0 a+2c=0\Rightarrow a=-2c. A terceira equação fica redundante, logo temos infinitas soluções não triviais (livre o parâmetro c\ne0).

Passo 4

Como há solução não trivial, o conjunto é LD. Para c=1 temos a=-2 e b=1, de modo que
-2p_{1}+1\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}=0
e daí
p_{3}=2\,p_{1}-p_{2}.

Passo 5

(Item b) Consideremos uma combinação linear que anule:
\alpha\,u+\beta\,(u+v)+\gamma\,(u+v+w)=0.
Expandindo,
\alpha\,u+\beta\,u+\beta\,v+\gamma\,u+\gamma\,v+\gamma\,w =(\alpha+\beta+\gamma)\,u+(\beta+\gamma)\,v+\gamma\,w=0.

Passo 6

Como u,v,w são LI, a única forma de (\alpha+\beta+\gamma)\,u+(\beta+\gamma)\,v+\gamma\,w=0
é ter
\gamma=0,\quad \beta+\gamma=0\Rightarrow\beta=0,\quad \alpha+\beta+\gamma=0\Rightarrow\alpha=0.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0 e o conjunto \{u,\;u+v,\;u+v+w\} é LI.

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente, com
1+3x-x^{2}=2\,(1+x+x^{2})-\,(1-x+3x^{2}).
(b) Os vetores u,\;u+v,\;u+v+w são linearmente independentes.

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