A matriz de mudança de base da base E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) para a base F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{3}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) é
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right] .
Exprima os elementos de F em termos da base E.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
a base canônica E=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}) e a base F=(\overrightarrow{f_1},\overrightarrow{f_2},\overrightarrow{f_3}).
A matriz de mudança de base de E para F é
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos usar a definição de matriz de mudança de base: as colunas de P são justamente as coordenadas dos vetores de F em relação à base E.

Passo 2

Cada coluna de P nos dá [\overrightarrow{f_i}]_E, ou seja, as componentes de \overrightarrow{f_i} no sistema E. Em particular,
[\overrightarrow{f_1}]_E = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{f_2}]_E = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{f_3}]_E = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Traduzindo essas coordenadas em combinação linear dos vetores de E:
\overrightarrow{f_1} = 1\overrightarrow{e_1} + 0\overrightarrow{e_2} + 1\overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_3},
\overrightarrow{f_2} = 0\overrightarrow{e_1} + 1\overrightarrow{e_2} + 0\overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{e_2},
\overrightarrow{f_3} = 1\overrightarrow{e_1} + 0\overrightarrow{e_2} -1\overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{e_1} - \overrightarrow{e_3}.

Resposta

\overrightarrow{f_1} = \overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_3} \overrightarrow{f_2} = \overrightarrow{e_2} \overrightarrow{f_3} = \overrightarrow{e_1} - \overrightarrow{e_3}

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