17- Se os vetores próprios da matriz \left[\begin{array}{lll}1 & a & b \\\\ 1 & c & d \\\\ 1 & e & f\end{array}\right] são \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] e\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right], determinar a,b,c,d,e e f.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 1 & c & d\\\\ 1 & e & f \end{pmatrix}
e diz que os vetores próprios são
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e
\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para cada vetor próprio v_j existe um escalar \lambda_j tal que
M\,v_j = \lambda_j\,v_j.
Vamos usar essas três igualdades para montar um sistema e determinar a,b,c,d,e,f.

Passo 2

Para v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} e \lambda_1 temos
M\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + a + b\\\\ 1 + c + d\\\\ 1 + e + f \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_1\\lambda_1\\lambda_1\end{pmatrix}.
Isto implica
1 + a + b \;=\;1 + c + d\;=\;1 + e + f\;=\;\lambda_1,
ou seja
a + b = c + d = e + f.

Passo 3

Para v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e \lambda_2 temos
M\,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - b\\\\ 1 - d\\\\ 1 - f \end{pmatrix} = \lambda_2 \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_2\\\ 0\\\ -\lambda_2\end{pmatrix}.
Dessas igualdades seguem
\;1 - b = \lambda_2,\;1 - d = 0\Rightarrow d=1,\;1 - f = -\lambda_2.
Como \lambda_2 = 1 - b, obtemos
d = 1, \quad f = 1 + \lambda_2 = 1 + (1 - b) = 2 - b.

Passo 4

Para v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} e \lambda_3 temos
M\,\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - a\\\\ 1 - c\\\\ 1 - e \end{pmatrix} = \lambda_3 \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_3\\\ -\lambda_3\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessas igualdades seguem
\;1 - a = \lambda_3,\;1 - c = -\lambda_3,\;1 - e = 0\Rightarrow e=1.
Como \lambda_3 = 1 - a, obtemos
e = 1, \quad c = 1 + \lambda_3 = 1 + (1 - a) = 2 - a.

Passo 5

Já temos
d = 1,\quad e = 1,\quad f = 2 - b,\quad c = 2 - a,
e da etapa 2 a condição
\;a + b = c + d = e + f.
Escrevendo c+d = (2 - a) + 1 = 3 - a e e+f = 1 + (2 - b) = 3 - b, o sistema fica
a + b = 3 - a, \quad a + b = 3 - b.
Da primeira equação 2a + b = 3.
Da segunda a + 2b = 3.
Resolvendo em (a,b) obtemos a=1 e b=1.
Então
c = 2 - a = 1, \quad d = 1, \quad e = 1, \quad f = 2 - b = 1.

Resposta

a =1, b =1, c =1, d =1, e =1, f =1.

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