Determine os seguintes índices físicos para cada uma das cinco amostras de um solo, sabendo que a densidade (peso específico) dos sólidos ( \gamma \mathbf{s} ) é 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} :
Amostra \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Massa (g) 1.859 1.958 1.993 2.004 1.986
Umidade (%) 18,1 19,1 19,7 20,8 23,2
( 0,5 ponto) A densidade da amostra.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Densidade dos sólidos (peso específico dos grãos): \gamma_s = 2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Para cada amostra i = 1…5 temos a massa total (massa úmida) m_{\text{tot},i} em gramas:
    • Amostra 1: m_{\text{tot},1}=1{,}859\\ \mathrm{g}
    • Amostra 2: m_{\text{tot},2}=1{,}958\\ \mathrm{g}
    • Amostra 3: m_{\text{tot},3}=1{,}993\\ \mathrm{g}
    • Amostra 4: m_{\text{tot},4}=2{,}004\\ \mathrm{g}
    • Amostra 5: m_{\text{tot},5}=1{,}986\\ \mathrm{g}
  • Teor de umidade gravimétrica (porcentagem) para cada amostra:
    • Amostra 1: w_1=18{,}1\%
    • Amostra 2: w_2=19{,}1\%
    • Amostra 3: w_3=19{,}7\%
    • Amostra 4: w_4=20{,}8\%
    • Amostra 5: w_5=23{,}2\%
O que o enunciado pede nesta parte: calcular “A densidade da amostra.” (interpreto como densidade aparente/bulk density da amostra).
Observação importante: falta no enunciado o volume total de cada amostra (ou a informação de que a amostra foi coletada em um anel de volume conhecido). Sem o volume total da amostra não é possível obter numericamente a densidade aparente. Nos passos seguintes explico por quê e mostro o procedimento completo que deve ser aplicado se o volume estiver disponível; em seguida mostro um exemplo numérico ilustrativo assumindo V_{\text{amostra}}=1{,}00\\ \mathrm{cm^3} (apenas para exemplificar a aplicação das fórmulas).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Definição de teor de umidade gravimétrica w: é a razão entre a massa de água m_w e a massa de sólidos (massa seca) m_s: w=\frac{m_w}{m_s}.Quando w é dado em porcentagem, converte-se para decimal por w_{\text{decimal}}=w/100.
  • Relação entre massas total, seca e água: m_{\text{tot}}=m_s+m_w = m_s(1+w_{\text{decimal}}).Dessa relação segue-se a fórmula para obter a massa seca m_s a partir da massa total e do teor de umidade: m_s=\frac{m_{\text{tot}}}{1+w_{\text{decimal}}}.(Aqui m_{\text{tot}} é a massa úmida medida em balança.)
  • Definição de densidade aparente (massa volúmica, em g/cm ^3 no sistema que estamos usando): é a massa total dividida pelo volume total da amostra: \gamma=\frac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{tot}}}.Para obter \gamma numericamente é imprescindível conhecer V_{\text{tot}}.
  • Se for preciso a densidade seca (massa seca por volume): \gamma_d=\frac{m_s}{V_{\text{tot}}}.
  • Relação com a densidade dos grãos \gamma_s: o volume de sólidos é V_s=\frac{m_s}{\gamma_s}.O volume total V_{\text{tot}} é a soma do volume de sólidos V_s com o volume de vazios V_v (água + ar). Sem saber V_v (ou sem saber V_{\text{tot}}) não se pode fechar o cálculo.
Resumindo: para calcular numericamente a densidade da amostra \gamma precisa-se de m_{\text{tot}} (temos) e de V_{\text{tot}} (não foi fornecido). Portanto a falta do volume impede obter \gamma em números.

Passo 3

Procedimento passo a passo que deve ser aplicado se o volume total V_{\text{tot}} estiver disponível (este é o algoritmo que deve ser memorizado para a prova):
  1. Converter o teor de umidade percentual em decimal: w_{\text{decimal}}=\frac{w(\%)}{100}.
  2. Calcular a massa seca: m_s=\frac{m_{\text{tot}}}{1+w_{\text{decimal}}}.
  3. Se necessário, calcular a massa de água: m_w=m_{\text{tot}}-m_s.
  4. Calcular a densidade aparente (úmida) pela fórmula \gamma=\frac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{tot}}}.ou, se pedirem a densidade seca, \gamma_d=\frac{m_s}{V_{\text{tot}}}.
  5. (Opcional) Calcular volume de sólidos e porosidade: V_s=\frac{m_s}{\gamma_s},\qquad n=1-\frac{V_s}{V_{\text{tot}}}.
Importante: todas as massas em gramas e volumes em cm ^3 dão densidade em g/cm ^3. Para converter para \mathrm{kN/m^3} ou \mathrm{kg/m^3} deve-se fazer as conversões adequadas depois.

Passo 4

Exemplo ilustrativo (APENAS exemplo) — supondo que o volume total da amostra seja V_{\text{tot}}=1{,}00\\ \mathrm{cm^3}. Faço o cálculo completo para todas as amostras para mostrar como se aplica o algoritmo. Obs.: isto é só um exemplo hipotético; o número final só vale se o volume for realmente 1{,}00\\ \mathrm{cm^3}.
Primeiro converto os teores de umidade para decimal:
  • Amostra 1: w_1=0{,}181.
  • Amostra 2: w_2=0{,}191.
  • Amostra 3: w_3=0{,}197.
  • Amostra 4: w_4=0{,}208.
  • Amostra 5: w_5=0{,}232.
Calculo das massas secas m_s:
  • Amostra 1: m_{s,1}=\frac{1{,}859}{1+0{,}181}=\frac{1{,}859}{1{,}181}\approx1{,}575\\ \mathrm{g}.
  • Amostra 2: m_{s,2}=\frac{1{,}958}{1{,}191}\approx1{,}644\\ \mathrm{g}.
  • Amostra 3: m_{s,3}=\frac{1{,}993}{1{,}197}\approx1{,}665\\ \mathrm{g}.
  • Amostra 4: m_{s,4}=\frac{2{,}004}{1{,}208}\approx1{,}659\\ \mathrm{g}.
  • Amostra 5: m_{s,5}=\frac{1{,}986}{1{,}232}\approx1{,}612\\ \mathrm{g}.
Se V_{\text{tot}}=1{,}00\\ \mathrm{cm^3}, as densidades aparentes (úmidas) seriam simplesmente:
  • Amostra 1: \gamma_1=\dfrac{1{,}859}{1{,}00}=1{,}859\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 2: \gamma_2=\dfrac{1{,}958}{1{,}00}=1{,}958\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 3: \gamma_3=\dfrac{1{,}993}{1{,}00}=1{,}993\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 4: \gamma_4=\dfrac{2{,}004}{1{,}00}=2{,}004\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 5: \gamma_5=\dfrac{1{,}986}{1{,}00}=1{,}986\\ \mathrm{g/cm^3}.
As densidades secas (se V_{\text{tot}}=1{,}00\\ \mathrm{cm^3}) seriam:
  • Amostra 1: \gamma_{d,1}\approx1{,}575\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 2: \gamma_{d,2}\approx1{,}644\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 3: \gamma_{d,3}\approx1{,}665\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 4: \gamma_{d,4}\approx1{,}659\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Amostra 5: \gamma_{d,5}\approx1{,}612\\ \mathrm{g/cm^3}.
Também, ainda no exemplo, os volumes de sólidos (usando \gamma_s=2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}) seriam:
  • Amostra 1: V_{s,1}=\dfrac{1{,}575}{2{,}7}\approx0{,}5833\\ \mathrm{cm^3}.
  • Amostra 2: V_{s,2}\approx0{,}609\\ \mathrm{cm^3}.
  • Amostra 3: V_{s,3}\approx0{,}6167\\ \mathrm{cm^3}.
  • Amostra 4: V_{s,4}\approx0{,}6144\\ \mathrm{cm^3}.
  • Amostra 5: V_{s,5}\approx0{,}5970\\ \mathrm{cm^3}.
A partir desses V_s e de V_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{cm^3} poderia-se ainda calcular porosidade e demais índices — mas tudo isto depende da hipótese do volume.

Passo 5

Conclusão didática e o que você deve responder na prova:
  • Fórmula essencial a decorar: para obter a densidade aparente da amostra \gamma=\frac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{tot}}}.Logo, além de m_{\text{tot}} é obrigatório conhecer V_{\text{tot}} (volume do anel ou da amostra).
  • Se na sua prova o enunciado der explicitamente o volume do anel (por exemplo V_{\text{anel}}=100\\ \mathrm{cm^3} ou 1{,}00\\ \mathrm{cm^3}), aplique exatamente o algoritmo do Passo 3 e do Passo 4 para cada amostra.
  • Se não der o volume, explique no enunciado (como fiz aqui) que falta a informação de volume e que, sem ela, não é possível obter numericamente a densidade aparente.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a densidade da amostra porque o enunciado não fornece o volume total V_{\text{tot}} de cada amostra (ou o volume do anel).

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