Determine os seguintes índices físicos para cada uma das cinco amostras de um solo, sabendo que a densidade (peso específico) dos sólidos ( \gamma \mathbf{s} ) é 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} :
Amostra \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Massa (g) 1.859 1.958 1.993 2.004 1.986
Umidade (%) 18,1 19,1 19,7 20,8 23,2
( 0,5 ponto) 0 índice de vazios.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos deram.
  • Pedido: calcular o índice de vazios para cada uma das cinco amostras do solo.
  • Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
    • Densidade dos sólidos: \gamma_s = 2,7\\ \mathrm{g/cm^3} (interpreto isto como a densidade de partículas \rho_s = 2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}).
    • Amostras (massa total e umidade):
      • Amostra 1: massa M_1 = 1{,}859\\ \mathrm{g}, umidade w_1 = 18{,}1\%.
      • Amostra 2: massa M_2 = 1{,}958\\ \mathrm{g}, umidade w_2 = 19{,}1\%.
      • Amostra 3: massa M_3 = 1{,}993\\ \mathrm{g}, umidade w_3 = 19{,}7\%.
      • Amostra 4: massa M_4 = 2{,}004\\ \mathrm{g}, umidade w_4 = 20{,}8\%.
      • Amostra 5: massa M_5 = 1{,}986\\ \mathrm{g}, umidade w_5 = 23{,}2\%.
Observação importante (necessária antes de calcular): o índice de vazios exige conhecer o volume total da amostra V (ou a massa seca por volume — densidade seca \rho_d). Esse dado não está explícito na tabela. Sem V (ou \rho_d) não é possível obter numericamente o índice de vazios de forma única.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (explicadinho passo a passo, com significado das grandezas).
  • Umidade w: fração (em dezimal) de água em relação à massa seca:
    w=\frac{M_w}{M_s},
    onde M_w é massa de água e M_s é massa de sólidos (massa seca). Se a massa total medida é M, então
    M = M_s + M_w = M_s(1+w),
    logo
    M_s=\frac{M}{1+w}.
    Aqui w deve ser usado em forma decimal (por exemplo 18{,}1\% = 0{,}181).
  • Volume dos sólidos V_s: é a massa seca dividida pela densidade de partículas:
    V_s=\frac{M_s}{\rho_s},
    onde \rho_s é a densidade das partículas (no enunciado \rho_s=2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}).
  • Índice de vazios e: razão entre volume de vazios V_v e volume de sólidos V_s:
    e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{V - V_s}{V_s}=\frac{V}{V_s}-1,
    onde V é o volume total da amostra (somatório sólidos + vazios + água no espaço de vazios).
  • Forma alternativa útil (se souber a densidade seca \rho_d em vez de V):
    \rho_d=\frac{M_s}{V}\quad\Rightarrow\quad e=\frac{\rho_s}{\rho_d}-1.
    Essa fórmula é prática: com \rho_d conhecida encontra-se e diretamente.
Resumo prático: para calcular e numericamente a partir das massas dadas é preciso conhecer o volume total da amostra V (ou, equivalentemente, a densidade seca \rho_d). Sem esse dado a resposta numérica é indeterminada.

Passo 3

O que falta e como prosseguir: decisão feita para seguir com um exemplo numérico
  • Falta no enunciado o volume total de cada amostra V (ou a densidade seca \rho_d). Portanto, estritamente falando, não há um único conjunto de valores de e que possa ser calculado a partir apenas de M, w e \rho_s.
  • Para não te deixar na mão, vou mostrar como calcular passo a passo supondo uma hipótese muito comum em exercícios didáticos: a amostra foi recolhida em um anel de volume V=1{,}0\\ \mathrm{cm^3} (ou seja, cada amostra ocupa exatamente 1\\ \mathrm{cm^3}). Vou explicitar essa hipótese: os valores numéricos abaixo são calculados assumindo V=1{,}0\\ \mathrm{cm^3}. Se o volume real for outro, basta substituir V e refazer as contas com os mesmos passos.
  • Procedimento que vou aplicar (um por amostra):
    1. Converter w para decimal: w(\text{decimal}).
    2. Calcular massa seca: M_s=\dfrac{M}{1+w}.
    3. Calcular volume de sólidos: V_s=\dfrac{M_s}{\rho_s} com \rho_s=2{,}7\\ \mathrm{g/cm^3}.
    4. Calcular e=\dfrac{V - V_s}{V_s} com V=1{,}0\\ \mathrm{cm^3}.
Agora aplico isso em cada amostra, mostrando as contas.

Passo 4

Cálculos detalhados para cada amostra (assumindo V=1{,}0\\ \mathrm{cm^3}).
Amostra 1:
  • w_1=18{,}1\%\Rightarrow w_1=0{,}181.
  • Massa seca: M_{s1}=\frac{M_1}{1+w_1}=\frac{1{,}859}{1{,}181}=1{,}5750\\ \mathrm{g}.
  • Volume de sólidos: V_{s1}=\frac{M_{s1}}{\rho_s}=\frac{1{,}5750}{2{,}7}=0{,}583333\\ \mathrm{cm^3}.
  • Índice de vazios: e_1=\frac{V - V_{s1}}{V_{s1}}=\frac{1{,}0-0{,}583333}{0{,}583333}=0{,}7142857\approx0{,}714.
Amostra 2:
  • w_2=19{,}1\%\Rightarrow w_2=0{,}191.
  • Massa seca: M_{s2}=\frac{1{,}958}{1{,}191}=1{,}6430\\ \mathrm{g}.
  • Volume de sólidos: V_{s2}=\frac{1{,}6430}{2{,}7}=0{,}608519\\ \mathrm{cm^3}.
  • Índice de vazios: e_2=\frac{1{,}0-0{,}608519}{0{,}608519}=0{,}643478\approx0{,}643.
Amostra 3:
  • w_3=19{,}7\%\Rightarrow w_3=0{,}197.
  • Massa seca: M_{s3}=\frac{1{,}993}{1{,}197}=1{,}66499\\ \mathrm{g}.
  • Volume de sólidos: V_{s3}=\frac{1{,}66499}{2{,}7}=0{,}616667\\ \mathrm{cm^3}.
  • Índice de vazios: e_3=\frac{1{,}0-0{,}616667}{0{,}616667}=0{,}621053\approx0{,}621.
Amostra 4:
  • w_4=20{,}8\%\Rightarrow w_4=0{,}208.
  • Massa seca: M_{s4}=\frac{2{,}004}{1{,}208}=1{,}659064\\ \mathrm{g}.
  • Volume de sólidos: V_{s4}=\frac{1{,}659064}{2{,}7}=0{,}614466\\ \mathrm{cm^3}.
  • Índice de vazios: e_4=\frac{1{,}0-0{,}614466}{0{,}614466}=0{,}627581\approx0{,}628.
Amostra 5:
  • w_5=23{,}2\%\Rightarrow w_5=0{,}232.
  • Massa seca: M_{s5}=\frac{1{,}986}{1{,}232}=1{,}611688\\ \mathrm{g}.
  • Volume de sólidos: V_{s5}=\frac{1{,}611688}{2{,}7}=0{,}596922\\ \mathrm{cm^3}.
  • Índice de vazios: e_5=\frac{1{,}0-0{,}596922}{0{,}596922}=0{,}675544\approx0{,}676.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo
  • Os valores calculados acima são coerentes entre si (índices de vazios na faixa \sim0{,}62 a 0{,}71), típicos de solos não muito compactados.
  • Lembre: se o volume real da amostra for diferente de 1{,}0\\ \mathrm{cm^3}, os e mudam conforme a fórmula e=\dfrac{V}{V_s}-1 ou, equivalentemente, e=\dfrac{\rho_s}{\rho_d}-1.
  • Se tiveres o volume real ou a densidade seca \rho_d, manda aqui que eu recalculo rapidinho. Tu está indo bem — com paciência e passo a passo dá pra tirar qualquer prova!

Resposta

Amostra 1: e_1\approx0{,}714
Amostra 2: e_2\approx0{,}643
Amostra 3: e_3\approx0{,}621
Amostra 4: e_4\approx0{,}628
Amostra 5: e_5\approx0{,}676
(Valores calculados assumindo volume total da amostra V=1{,}0\\ \mathrm{cm^3}. Se o volume real for outro, os valores devem ser recalculados conforme as fórmulas mostradas.)

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