Determine os seguintes índices físicos para cada uma das cinco amostras de um solo, sabendo que a densidade (peso específico) dos sólidos ( \gamma \mathbf{s} ) é 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} :
Amostra \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Massa (g) 1.859 1.958 1.993 2.004 1.986
Umidade (%) 18,1 19,1 19,7 20,8 23,2
( 0,5 ponto) Densidade aparente seca.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • Amostra 1: massa m_1 = 1{,}859\\ \mathrm{g}, umidade w_1 = 18{,}1\%.
    • Amostra 2: massa m_2 = 1{,}958\\ \mathrm{g}, umidade w_2 = 19{,}1\%.
    • Amostra 3: massa m_3 = 1{,}993\\ \mathrm{g}, umidade w_3 = 19{,}7\%.
    • Amostra 4: massa m_4 = 2{,}004\\ \mathrm{g}, umidade w_4 = 20{,}8\%.
    • Amostra 5: massa m_5 = 1{,}986\\ \mathrm{g}, umidade w_5 = 23{,}2\%.
  • Também é dado o peso específico (densidade) dos sólidos: \gamma_s = 2{,}7\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
O enunciado pede: calcular a densidade aparente seca (também chamada de densidade seca ou massa específica seca) para cada uma das cinco amostras.
Observação importante (necessária antes de calcular): para calcular numericamente a densidade aparente seca de uma amostra é imprescindível conhecer o volume total da amostra \,V (volume do solo “no estado” em que a massa foi medida). O enunciado não fornece explicitamente esse volume. Sem \,V não é possível obter um valor numérico único para \gamma_d. Nos passos seguintes vou:
  • explicar detalhadamente as fórmulas e o raciocínio (para você aprender e aplicar na prova);
  • mostrar como calcular caso seja fornecido \,V;
  • e, para ilustrar, mostrar um exemplo numérico assumindo um volume de referência V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3 (vou deixar explícito que isso é uma hipótese didática).

Passo 2

Definição e fórmulas fundamentais — o que é densidade aparente seca e como obtê‑la a partir dos dados.
  • Definição: a densidade aparente seca \gamma_d é a massa de sólidos por unidade de volume total, quando a amostra está seca:
\gamma_d=\frac{m_s}{V},
onde:
  • m_s é a massa dos sólidos secos (em gramas),
  • V é o volume total da amostra (em \mathrm{cm}^3).
  • Relação entre massa total (úmida), massa de sólidos e umidade:
    • A umidade w normalmente é dada em porcentagem calculada como
    w=\frac{m_w}{m_s}\times100\%,
    onde m_w é a massa de água e m_s a massa dos sólidos secos.
    • Reescrevendo em forma decimal (usar w em decimal, por exemplo 18{,}1\% vira 0{,}181):
    m = m_s + m_w = m_s(1+w),
    portanto
    m_s=\frac{m}{1+w}.
    • Aqui m é a massa total úmida que o enunciado forneceu.
Assim, substituindo na definição de \gamma_d, obtemos uma fórmula prática:
\gamma_d=\frac{m_s}{V}=\frac{1}{V}\cdot\frac{m}{1+w}.
Todas as variáveis devem estar nas unidades consistentes: m em gramas, V em \mathrm{cm}^3, w como decimal (ex.: 18{,}1\%\Rightarrow w=0{,}181). O resultado fica em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.

Passo 3

Explicação física adicional (quando e por que a densidade dos sólidos \gamma_s aparece).
  • A densidade dos grãos \gamma_s (dada como 2{,}7\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3) é útil para relacionar volumes dos sólidos com suas massas:
V_s=\frac{m_s}{\gamma_s},
onde V_s é o volume ocupado pelos sólidos. Mas para obter \gamma_d precisamos do volume total V (que é V=V_s+V_v, com V_v volume de vazios). Sem informação sobre V ou sobre o grau de saturação/razão de vazios não é possível calcular V apenas com \gamma_s e m. Portanto, \gamma_s por si só não resolve o problema da falta de V.
  • Relação útil, caso se conheça o void ratio e (razão de vazios): V=V_s(1+e). Então
\gamma_d=\frac{m_s}{V}=\frac{\gamma_s}{1+e}.
Mas sem e (ou sem V ou sem grau de saturação e volume de água) não dá para usar essa expressão numericamente.

Passo 4

Procedimento passo a passo para calcular numericamente \gamma_d se o volume V for conhecido.
  1. Converter a umidade percentual em decimal: w_{\text{decimal}}=\frac{w_{\%}}{100}.
  2. Calcular a massa dos sólidos: m_s=\frac{m}{1+w_{\text{decimal}}}.
  3. Dividir pela volume total conhecido V: \gamma_d=\frac{m_s}{V}=\frac{m}{(1+w_{\text{decimal}})\,V}.
  4. Expressar o resultado em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
Vou fazer um exemplo numérico completo assumindo, só para ilustrar o procedimento (atenção: esta é uma hipótese didática — se na sua prova o volume for outro, substitua por esse volume):
Hipótese de exemplo: V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3.
Calculemos cada amostra usando a fórmula \gamma_d = \dfrac{m}{(1+w)\,V} com w em decimal:
  • Amostra 1: m=1{,}859, w=18{,}1\%\Rightarrow w=0{,}181.
    m_{s1}=\frac{1{,}859}{1+0{,}181}=\frac{1{,}859}{1{,}181}=1{,}5739\\ \mathrm{g}.
    Com V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3:
    \gamma_{d1}=1{,}5739\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3\approx1{,}574\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Amostra 2: m=1{,}958, w=19{,}1\%\Rightarrow w=0{,}191.
    m_{s2}=\frac{1{,}958}{1{,}191}=1{,}6430\\ \mathrm{g}, \qquad \gamma_{d2}\approx1{,}643\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Amostra 3: m=1{,}993, w=19{,}7\%\Rightarrow w=0{,}197.
    m_{s3}=\frac{1{,}993}{1{,}197}=1{,}6650\\ \mathrm{g}, \qquad \gamma_{d3}\approx1{,}665\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Amostra 4: m=2{,}004, w=20{,}8\%\Rightarrow w=0{,}208.
    m_{s4}=\frac{2{,}004}{1{,}208}=1{,}6591\\ \mathrm{g}, \qquad \gamma_{d4}\approx1{,}659\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Amostra 5: m=1{,}986, w=23{,}2\%\Rightarrow w=0{,}232.
    m_{s5}=\frac{1{,}986}{1{,}232}=1{,}6120\\ \mathrm{g}, \qquad \gamma_{d5}\approx1{,}612\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
Esses valores são os resultados numéricos que se obtêm se \,V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3. Se o volume for diferente, basta dividir cada m_{si} pelo valor real de V para obter \gamma_{di}.

Passo 5

Resumo final e o que entregar na prova.
  • Sem o volume total V de cada amostra não é possível fornecer os valores numéricos corretos solicitados pelo enunciado; é obrigatório conhecer V para calcular \gamma_d.
  • Procedimento prático para a prova: calcular m_s=\dfrac{m}{1+w} (com w em decimal) e depois \gamma_d=\dfrac{m_s}{V}.
  • Se porventura o enunciado da sua prova der um volume (por exemplo V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3 ou outro), substitua e calcule exatamente como no exemplo acima.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a densidade aparente seca para cada amostra porque falta o volume total V de cada amostra.
Se for assumido V=1{,}0\\ \mathrm{cm}^3 (hipótese didática), então:
\gamma_{d1}\approx1{,}574\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
\gamma_{d2}\approx1{,}643\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
\gamma_{d3}\approx1{,}665\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
\gamma_{d4}\approx1{,}659\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
\gamma_{d5}\approx1{,}612\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3

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