Determine as seguintes integrais
integral sin ^2(x) cos ^4(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2(x),cos^4(x),dx
O conteúdo aqui é “integração de potências de funções trigonométricas”, e vamos usar as identidades de redução de potência para transformar tudo em constantes e cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Usamos as fórmulas de redução de potência:
cos^4(x)=3+4cos(2x)+cos(4x)8, sin^2(x)=1-cos(2x)2
Logo,
sin^2(x),cos^4(x) =1-cos(2x)2,cdot3+4cos(2x)+cos(4x)8

Passo 3

Multiplicamos e simplificamos usando ainda a identidade
cos(2x)cos(4x)=tfrac12[cos(6x)+cos(2x)]. O produto dá
sin^2(x)cos^4(x) =116+132cos(2x)-116cos(4x)-132cos(6x)

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral sin^2(x)cos^4(x),dx =integrall(tfrac116+tfrac132cos(2x)-tfrac116cos(4x)-tfrac132cos(6x)r)dx
Fazendo cada parte:
integraltfrac116,dx=tfrac116x, integraltfrac132cos(2x),dx=tfrac132cdottfracsin(2x)2=tfrac164sin(2x),
integral-tfrac116cos(4x),dx=-tfrac116cdottfracsin(4x)4=-tfrac164sin(4x), integral-tfrac132cos(6x),dx=-tfrac132cdottfracsin(6x)6=-tfrac1192sin(6x)

Resposta

boxed integral sin^2(x)cos^4(x),dx =116x +164sin(2x) -164sin(4x) -1192sin(6x) +C

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