Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y^prime(t)+y(t)-integral0^t y(v) sen(t-v) d v=-sen t,
y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integro-diferencial
y'(t)+y(t)-integral0^ty(v),sen(t-v),dv=-sen t, y(0)=1
O conteúdo principal é usar a transformada de Laplace para converter a equação em uma álgebraica em Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly(t)=Y(s) e, pela convolução,
Llintegral0^ty(v)sen(t-v),dvr=Y(s)cdot1s^2+1.
No lado direito,
L-sen t=-1s^2+1.
Logo a equação vira
l[sY(s)-1r] + Y(s) - Y(s)1s^2+1 = -1s^2+1

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando, temos
Y(s)l(s+1 - 1s^2+1r) -1 = -1s^2+1 Longrightarrow Y(s)l(s+1 - 1s^2+1r) =1 - 1s^2+1

Passo 4

Observe que
1 - 1s^2+1=s^2s^2+1, s+1 - 1s^2+1 =(s+1)(s^2+1)-1s^2+1 =s(s^2+s+1)s^2+1
Assim
Y(s) =tfracs^2s^2+1tfracs(s^2+s+1)s^2+1 =s^2s,(s^2+s+1) =ss^2+s+1

Passo 5

Para inverter, complete o quadrado no denominador:
s^2+s+1=l(s+tfrac12r)^2+l(tfracraiz32r)^2
Escreva
ss^2+s+1 =(s+tfrac12)-tfrac12 l(s+tfrac12r)^2+(tfracraiz32)^2 =s+tfrac12(cdots)-tfrac12(cdots)
A transformada inversa resulta em
y(t) =e^-tfrac t2cosl(tfracraiz32tr) -1raiz3,e^-tfrac t2sinl(tfracraiz32tr)

Resposta

y(t) =e^-tfrac t2l[cosl(tfracraiz32tr) -tfrac1raiz3,sinl(tfracraiz32tr)r]

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