Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y^prime(t)+integral0^t(t-v) y(v) d v=t, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integro-diferencial
y'(t) + integral0^t(t-v),y(v),dv = t, y(0)=0
O conteúdo principal aqui é aplicar transformada de Laplace e usar a propriedade de convolução para reduzir a equação a uma álgebra em s.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados.
– Para y'(t) temos
Ly'(t) = sY(s) - y(0) = sY(s)
– Para o termo convolucional integral0^t(t-v)y(v),dv usamos
LK*y = LK(s),Y(s),
onde K(t)=t e Lt = 1/s^2. Logo
Llintegral0^t(t-v)y(v),dvr = 1s^2,Y(s)
– Para o lado direito t temos Lt=1/s^2.
Assim a transformada total é
sY(s) + 1s^2Y(s) = 1s^2

Passo 3

Isolamos Y(s). Como
s + 1s^2 = s^3+1s^2,
segue
Y(s),s^3+1s^2 = 1s^2 Longrightarrow Y(s) = 1s^3+1

Passo 4

Fazemos frações parciais em
1s^3+1 =1(s+1)(s^2-s+1) =As+1+Bs+Cs^2-s+1
Igualando numeradores obtemos o sistema
A+B=0, -A+B+C=0, A+C=1
cuja solução é A=tfrac13, B=-tfrac13, C=tfrac23. Logo
Y(s) =tfrac13s+1 +-tfrac13,s+tfrac23s^2-s+1

Passo 5

Para inverter aplicamos transformada inversa termo a termo. Primeiro complete o quadrado:
s^2-s+1 = l(s-tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2
Reescrevendo
Y(s) =131s+1 -13s-tfrac12(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 +121(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2
Usando
L^-1tfrac1s+1=e^-t, L^-1tfracs-tfrac12(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 =e^t/2cosl(tfracraiz3,t2r), L^-1tfrac1(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 =2raiz3,e^t/2sinl(tfracraiz3,t2r),
obtemos
y(t) =13e^-t -13e^t/2cos!l(raiz3,t2r) +1raiz3e^t/2sin!l(raiz3,t2r)

Resposta

y(t) =13e^-t -13e^t/2cos!l(raiz3,t2r) +1raiz3e^t/2sin!l(raiz3,t2r)

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