Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias no infinito, usando testes de convergência como comparação e o teste de Dirichlet.
Passo 2
Usando a linearidade da integral, escrevemos
Passo 3
Analisamos a primeira parte:
Como a integral de
diverge (é a integral harmônica no infinito), essa parcela diverge.
Passo 4
Agora a segunda parte:
converge pelo teste de Dirichlet, pois
-
é positiva, monótona decrescente e tende a 0 quando , -
tem as integrais parciais limitadas em valor absoluto.
Passo 5
Como a soma de uma parte que diverge (a integral de
) com uma parte que converge (a de
) resulta em divergência, concluímos que a integral original diverge.
Resposta
A integral diverge.