Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
® integralpi^infty 2+cos (theta)theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integralpi^infty 2+cos(theta)theta,dtheta
converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias no infinito, usando testes de convergência como comparação e o teste de Dirichlet.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, escrevemos
integralpi^infty 2+costhetatheta,dtheta = 2integralpi^infty 1theta,dtheta + integralpi^infty costhetatheta,dtheta

Passo 3

Analisamos a primeira parte:
2integralpi^infty 1theta,dtheta = 2l[lnthetar]pi^infty = 2limRtoinfty(ln R - lnpi)=infty
Como a integral de 1/theta diverge (é a integral harmônica no infinito), essa parcela diverge.

Passo 4

Agora a segunda parte:
integralpi^infty costhetatheta,dtheta
converge pelo teste de Dirichlet, pois
  • f(theta)=1/theta é positiva, monótona decrescente e tende a 0 quando thetatoinfty,
  • g(theta)=costheta tem as integrais parciais integralpi^xcostheta,dtheta=sin x+sinpi limitadas em valor absoluto.

Passo 5

Como a soma de uma parte que diverge (a integral de 2/theta) com uma parte que converge (a de costheta/theta) resulta em divergência, concluímos que a integral original diverge.

Resposta

A integral diverge.

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