Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(q) integral0^pi 1raiztheta+sen(theta) d theta

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral0^pi 1raiztheta+sen(theta),dtheta
O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias e vamos precisar identificar possíveis pontos de descontinuidade e usar comparação assintótica.

Passo 2

O denominador raiztheta+sen(theta) anula-se quando ambos termos são zero. Como raiztheta>=0 e sen(theta)>=0 em [0,pi], o único ponto em que o denominador pode ser zero é theta=0. Em theta=pi o denominador vale raizpi>0, logo não há singularidade lá.

Passo 3

Para estudar o comportamento em thetato0^+, aproximamos
sen(theta)simtheta,raizthetasimraiztheta,
então
raiztheta+sen(theta)simraiztheta,
e o integrando se comporta como
1raiztheta,
cuja integral
integral0^epsilontheta^-1/2,dtheta=2raizepsilon
é finita. Portanto não há divergência em 0.

Passo 4

Como só havia essa possível singularidade e ela não causa divergência, concluímos que a integral é convergente.

Resposta

Converge

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