Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(m) integral 1raizy-raiz[3]y d y

Passo 1

Temos que calcular a primitiva integral 1raizy-raiz[3]y,dy. O conteúdo envolve substituição de variáveis para simplificar raízes e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escolhemos a substituição t=y^1/6. Assim,
raizy=t^3,
raiz[3]y=t^2,
e dy=6t^5,dt.
Substituindo na integral, obtemos
integral 1raizy-raiz[3]y,dy = integral 6t^5t^3 - t^2,dt = integral 6t^5t^2(t-1),dt = integral 6t^3t-1,dt

Passo 3

Fazemos a divisão de polinômios em t^3t-1:
t^3t-1 = t^2 + t + 1 + 1t-1

Passo 4

Então
6t^3t-1 = 6t^2 +6t +6 + 6t-1

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 6t^2,dt = 2t^3, integral 6t,dt = 3t^2, integral 6,dt = 6t, integral 6t-1,dt = 6ln|t-1|

Passo 6

Somando tudo, a primitiva em t é
2t^3 + 3t^2 +6t +6ln|t-1| + C

Passo 7

Voltando à variável original y, com t=y^1/6, temos t^3=raizy, t^2=y^1/3 e t=y^1/6. Portanto, a solução final é:
integral 1raizy-raiz[3]y,dy = 2raizy + 3y^1/3 + 6y^1/6 + 6ln|y^1/6-1| + C

Resposta

2raizy + 3y^1/3 + 6y^1/6 + 6lnl|y^1/6-1r| + C

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