Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(h) integral sec ^2(theta)tan ^2(theta)+3 tan (theta)+2 d theta

Passo 1

Na questão vamos calcular integral sec^2(theta)tan^2(theta)+3tan(theta)+2,dtheta. Isso envolve substituição de variáveis (u = tanθ) e frações parciais.

Passo 2

Seja u=tan(theta). Então du=sec^2(theta),dtheta. Substituindo, a integral torna-se integral duu^2+3u+2.

Passo 3

Fatoramos o denominador: u^2+3u+2=(u+1)(u+2). Logo a integral é integral du(u+1)(u+2).

Passo 4

Aplicamos frações parciais: procuramos 1(u+1)(u+2)=Au+1+Bu+2. Da identidade A(u+2)+B(u+1)=1 obtemos o sistema A+B=0 e 2A+B=1, que dá A=1 e B=-1.

Passo 5

Então 1(u+1)(u+2)=1u+1-1u+2 e a integral fica integrall(1u+1-1u+2r)du.

Passo 6

Integrando termo a termo, obtemos ln|u+1|-ln|u+2|+C.

Passo 7

Voltando à variável original theta com u=tan(theta), a primitiva final é ln|tan(theta)+1|-ln|tan(theta)+2|+C, que também pode ser escrita como um único logaritmo.

Resposta

lnl|tan(theta)+1tan(theta)+2r|+C

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