Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(n) integral0^pi / 4 tan (theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral definida
integral0^pi/4 tan(theta),dtheta
converge ou diverge. O conteúdo envolve integrais impróprias e critérios de convergência de funções trigonométricas.

Passo 2

Analisando a continuidade de tan(theta) no intervalo [0,pi/4]: os únicos pontos singulares de tan são theta=pi/2+kpi, que não caem em [0,pi/4]. Portanto a integral é própria e necessariamente converge.

Passo 3

Para calcular a integral, usamos a primitiva de tan(theta). Sabemos que
integral tan(theta),dtheta = -lnl|cos(theta)r| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida nos limites de 0 a pi/4:
integral0^pi/4 tan(theta),dtheta = l[-ln|cos(theta)|r]0^pi/4 = -lnl(cos(tfracpi4)r) + lnl(cos(0)r) = -lnl(tfracraiz22r) + ln(1) = -l(-tfrac12ln 2r) = tfrac12ln 2

Resposta

Converge e seu valor é tfrac12ln 2.

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