Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(s)
(s)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
. O conteúdo envolvido é integração impropria de função não positiva definida em
e vamos usar o teste de comparação e o teste \emph{p}.
Passo 2
Vamos separar a integral em duas partes: $$\int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\sin\theta}{\theta^{2}},d\theta = \int_{\pi}^{\infty} \frac{1}{\theta^{2}},d\theta ;+
; \int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin\theta}{\theta^{2}},d\theta.$$ Se cada uma convergir, a integral original converge.
Passo 3
Para
aplicamos o teste \emph{p}: como
, temos
logo essa parte converge.
Passo 4
Para
usamos convergência absoluta. Note que
$$\Bigl|\frac{\sin\theta}{\theta^{2}}\Bigr| \le \frac{1}{\theta^{2}}\quad(\forall\theta\ge\pi).
$$ Como já vimos que
converge, pelo teste de comparação absoluta a segunda parte também converge.
Passo 5
Como ambas as partes convergem, concluímos que
converge.
Resposta
A integral converge.