Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(s) integralpi^infty 1+sen(theta)theta^2 d theta

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria integralpi^infty 1+sin(theta)theta^2,dtheta. O conteúdo envolvido é integração impropria de função não positiva definida em [pi,infty) e vamos usar o teste de comparação e o teste \emph{p}.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes: $$\int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\sin\theta}{\theta^{2}},d\theta = \int_{\pi}^{\infty} \frac{1}{\theta^{2}},d\theta ;+
; \int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin\theta}{\theta^{2}},d\theta.$$ Se cada uma convergir, a integral original converge.

Passo 3

Para integralpi^infty 1theta^2,dtheta aplicamos o teste \emph{p}: como p=2>1, temos
integralpi^infty 1theta^2,dtheta = l[-1thetar]pi^infty = 0 -l(-1pir) = 1pi,
logo essa parte converge.

Passo 4

Para integralpi^infty sinthetatheta^2,dtheta usamos convergência absoluta. Note que
$$\Bigl|\frac{\sin\theta}{\theta^{2}}\Bigr| \le \frac{1}{\theta^{2}}\quad(\forall\theta\ge\pi).
$$ Como já vimos que l|sinthetatheta^2r| <= 1theta^2(foralltheta>=pi) converge, pelo teste de comparação absoluta a segunda parte também converge.

Passo 5

Como ambas as partes convergem, concluímos que
integralpi^infty 1+sin(theta)theta^2,dtheta
converge.

Resposta

A integral converge.

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