Prove utilizando o P.B.O que todo subconjunto não vazio do conjunto dos números inteiros limitado superiormente possui máximo.

Passo 1

Nesta questão, temos um subconjunto não vazio SsubseteqZ que está limitado superiormente. Queremos provar que existe um elemento máximo em S usando o Princípio do Bom Ordenamento (PBO), que afirma que todo subconjunto não vazio de N tem um menor elemento. Vamos então construir um conjunto de naturais a partir de S para aplicar o PBO.

Passo 2

Como S é limitado superiormente, existe MinZ tal que forall sin S:;s<= M. Definimos
$$
T = {,M - s + 1 \mid s \in S}\n T = ,M - s + 1 mid s in Sné
t = M - s + 1 \ge M - M + 1 = 1
$$
logo Sneqemptyset.

Passo 3

Pelo PBO, T tem um menor elemento, digamos t0 = min T. Como t0in T, existe s0in S tal que
t0 = M - s0 + 1
Para qualquer sin S temos
M - s + 1 >= t0
implicando
s <= M + 1 - t0 = s0
Assim, s0 é um maior elemento de S, ou seja, o máximo de S.

Resposta

O máximo de S é s0 = M + 1 - t0, provando que todo subconjunto não vazio de Z limitado superiormente possui máximo.

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