Prove utilizando o P.B.O que todo subconjunto não vazio do conjunto dos números inteiros limitado superiormente possui máximo.
Passo 1
Nesta questão, temos um subconjunto não vazio
que está limitado superiormente. Queremos provar que existe um elemento máximo em
usando o Princípio do Bom Ordenamento (PBO), que afirma que todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Vamos então construir um conjunto de naturais a partir de
para aplicar o PBO.
Passo 2
Como
é limitado superiormente, existe
tal que
. Definimos
$$
T = {,M - s + 1 \mid s \in S}\n
t = M - s + 1 \ge M - M + 1 = 1
$$
logo .
logo
Passo 3
Pelo PBO,
tem um menor elemento, digamos
. Como
, existe
tal que
Para qualquer
temos
implicando
Assim,
é um maior elemento de
, ou seja, o máximo de
.
Resposta
O máximo de
é
, provando que todo subconjunto não vazio de
limitado superiormente possui máximo.