Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(j) integral0^ln raiz3 x^-2 e^-1 / x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^ln raiz3 x^-2 e^-1/x ,dx
Aqui o conteúdo é de integrais impróprias com singularidade em x=0, e precisamos verificar se o comportamento de x{-2}e{-1/x} perto de zero gera divergência.

Passo 2

Para x>0 a função x^-2e^-1/x é contínua em qualquer intervalo afastado de zero, então a única possível divergência vem do limite quando x→0+. Como e^{-1/x} decai muito rápido, suspeitamos que a integral convirja. Para confirmar, usamos uma substituição que torne o teste mais direto.

Passo 3

Fazendo a troca
t=1x, x=1t, dx=-1t^2dt
temos para 0
integralvarepsilon^lnraiz3 x^-2 e^-1/x ,dx =integral1/varepsilon^1/(lnraiz3) t^2 e^-t l(-1t^2r) dt =integral1/(lnraiz3)^1/varepsilon e^-t ,dt
Agora fazemos varepsilonto0^+, o limite inferior de t vai para +∞, e o superior para 1/(lnraiz3), de modo que a integral vira
limMto+inftyintegral1/(lnraiz3)^M e^-t ,dt =l[-e^-tr]1/(lnraiz3)^+infty =e^-1/(lnraiz3),
que é finito.

Passo 4

Portanto, a integral converge, pois se transformou numa integral de e^-t em [1/(lnraiz3),+infty), que é convergente por decaimento exponencial.

Resposta

Converge

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