Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
Aqui o conteúdo é de integrais impróprias com singularidade em x=0, e precisamos verificar se o comportamento de x{-2}e{-1/x} perto de zero gera divergência.
Passo 2
Para x>0 a função
é contínua em qualquer intervalo afastado de zero, então a única possível divergência vem do limite quando x→0+. Como e^{-1/x} decai muito rápido, suspeitamos que a integral convirja. Para confirmar, usamos uma substituição que torne o teste mais direto.
Passo 3
Fazendo a troca
temos para
Agora fazemos
, o limite inferior de t vai para +∞, e o superior para
, de modo que a integral vira
que é finito.
Passo 4
Portanto, a integral converge, pois se transformou numa integral de
em
, que é convergente por decaimento exponencial.
Resposta
Converge