Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(k) integral 136+25 y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva integral 136+25 y^2 , dy usando substituição de variáveis e, em geral, a técnica de frações parciais. O conteúdo envolve a forma padrão de integração de integral dxa^2 + x^2, que resulta em arctan.

Passo 2

Para deixar a integral no formato padrão, fatoramos 36 no denominador. Assim temos:
integral 136+25y^2 , dy = integral 136l(1 + tfrac25y^236r) , dy = 136integral 11 + l(tfrac5y6r)^2 , dy

Passo 3

Agora aplicamos a substituição u = tfrac5y6. Então du = tfrac56 , dy, logo dy = tfrac65 , du. Substituindo na integral:
136integral 11+u^2 cdot 65 , du = 6180integral 11+u^2 , du = 130integral 11+u^2 , du

Passo 4

A integral integral 11+u^2 , du é conhecida e vale arctan(u) + C. Portanto:
130integral 11+u^2 , du = 130arctan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que u = tfrac5y6, obtemos a primitiva desejada:
130arctanl(tfrac5y6r) + C

Resposta

130arctanl(5y6r) + C

Exercícios relacionados