Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(f) integral1^infty x+1raizx^4-1 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral1^inftyx+1raizx^4-1,dx. O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias e vamos analisar o comportamento em xto1^+ e xtoinfty.

Passo 2

Em xto1^+, escrevendo x=1+epsilon com epsilonto0^+, temos
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)approx4epsilon
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raizx^4-1approx2raizepsilon e
x+1raizx^4-1approx22raizepsilon=epsilon^-1/2
Assim integral1^1+de converge.

Passo 3

Em xtoinfty, note que
raizx^4-1=x^2raiz1-x^-4approx x^2,
portanto
x+1raizx^4-1approxx+1x^2=1x+1x^2
Como integral^infty1x,dx diverge (comportamento logarítmico), a integral original diverge no infinito.

Resposta

Diverge

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