(2,5 pts) Encontre a solução de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela soma da solução da parte homogênea (
) e uma solução particular (
) da equação completa. Então, vamos seguir os passos para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea (
) é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que
também seja um polinômio de primeiro grau:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.