(2,5 pts) Encontre a solução de
y^prime prime-y^prime-2 y=8 x+2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela soma da solução da parte homogênea ( ) e uma solução particular ( ) da equação completa. Então, vamos seguir os passos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, r^2 - r - 2 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 . Utilizando a fórmula de Bhaskara:
r1 = 2 e r2 = -1
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea ( yh = C1 e^2x + C2 e^-x ) é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp = Ax + B ) para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que também seja um polinômio de primeiro grau:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp' = A :
yp'' = 0

Passo 7

Substituímos 0 - A - 2(Ax + B) = 8x + 2 , - A - 2Ax - 2B = 8x + 2 e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com -2A = 8 Rightarrow A = -4 :
- A - 2B = 2 Rightarrow -(-4) - 2B = 2 Rightarrow 4 - 2B = 2 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1
Para os termos constantes:

Passo 9

Com os valores de yp = -4x + 1 e encontrados, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-x - 4x + 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-x - 4x + 1
onde e são constantes arbitrárias.

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