Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(l) integral 1(4-y^2)^32 d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da primitiva integral 1(4 - y^2)^3/2,dy. O conteúdo envolve integrais e teremos que usar substituição de variáveis (trigonométrica) para simplificar o denominador e obter uma integral mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
y = 2sintheta,
assim
dy = 2costheta,dtheta
e
4 - y^2 = 4 - 4sin^2theta = 4cos^2theta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral 1(4 - y^2)^3/2,dy = integral 2costheta(4cos^2theta)^3/2,dtheta = integral 2costheta8cos^3theta,dtheta = 14integral sec^2theta,dtheta

Passo 4

Agora integramos:
14integral sec^2theta,dtheta = 14tantheta + C

Passo 5

Voltando à variável y:
Como tantheta = yraiz4 - y^2, temos
14tantheta + C = 14cdotyraiz4 - y^2 + C

Resposta

integral 1(4 - y^2)^3/2,dy = y4raiz4 - y^2 + C.

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