Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(k) integral0^1 1theta-sen(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral impropria de 0 a 1 de 1/(theta-sintheta). O conteúdo principal é análise de singularidade em integras impróprias, e vamos usar a expansão em série de Taylor de sintheta perto de theta=0 e o teste da integral-p.

Passo 2

Para ver o que acontece em theta=0, usamos a série de Taylor de sintheta em torno de zero:
sintheta=theta-theta^36+O(theta^5)

Passo 3

Então
theta-sintheta=theta-l(theta-theta^36+O(theta^5)r)=theta^36+O(theta^5)

Passo 4

Isso mostra que, quando thetato0^+,
1theta-sinthetasim1tfractheta^36=6,theta^-3

Passo 5

Como 6theta^-3 é comparável a theta^-3 e sabemos que
integral0^de
a integral original diverge pelo teste da integral-p (aqui p=3>1).

Resposta

A integral diverge.

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