(2,5 pts) Encontre a solução de
y^prime prime-2 y^prime+y=e^xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está dentro do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, assumimos que a solução é da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo r^2 e^rx - 2r e^rx + e^rx = 0 na equação homogênea, temos:
e^rx (r^2 - 2r + 1) = 0
Podemos fatorar r^2 - 2r + 1 = 0 (que nunca é zero):
Então, resolvemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Encontramos uma raiz dupla .

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 x) e^x
onde e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , que não é uma função polinomial, exponencial ou trigonométrica simples, vamos usar o Método de Variação dos Parâmetros.

Passo 7

No Método de Variação dos Parâmetros, assumimos que as constantes yp = u1(x) e^x + u2(x) x e^x e na solução homogênea são, na verdade, funções e . Então, a solução particular é:

Passo 8

Calculamos as derivadas de yp' = u1' e^x + u1 e^x + u2' x e^x + u2 e^x + u2 x e^x :
yp'' = u1'' e^x + 2u1' e^x + u1 e^x + u2'' x e^x + 2u2' e^x + 2u2' x e^x + u2 e^x + 2u2 e^x + u2 x e^x
u1' e^x + u2' x e^x = 0
Mas para simplificar, impomos as condições:
u1' e^x + u2' (x e^x) = e^xx

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações para u1' = -1x e u2' = 1x^2 , encontramos que:

Passo 10

Integrando u1 = -ln|x| + C e u2 = -1x + C :
Ignoramos as constantes de integração porque elas fazem parte da solução homogênea.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^x - ln|x| , e^x - 1x , e^x

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