(2,5 pts) Encontre a solução de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está dentro do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, assumimos que a solução é da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, resolvemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que não é uma função polinomial, exponencial ou trigonométrica simples, vamos usar o Método de Variação dos Parâmetros.
Passo 7
No Método de Variação dos Parâmetros, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea são, na verdade, funções
e
. Então, a solução particular é:
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, impomos as condições:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações para
e
, encontramos que:
Passo 10
Integrando
e
:
Ignoramos as constantes de integração porque elas fazem parte da solução homogênea.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: