Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
§ integral0^pi tan (theta) d theta

Passo 1

Resumo do problema: queremos analisar a convergência da integral imprópria integral0^pi tan(theta),dtheta. O conteúdo aqui é o estudo de integrais impróprias com singularidade interna: o integrando tan(theta) explode em theta=pi/2. Por isso vamos dividir o intervalo em [0,pi/2) e (pi/2,pi].

Passo 2

Recordando a primitiva: sabemos que integral tan(theta),dtheta = -lnlvertcos(theta)rvert + C.

Passo 3

Analisando a parte de 0 até pi/2: seja atopi/2^-. Então
integral0^atan(theta),dtheta =l[-lnlvertcos(theta)rvertr]0^a = -ln(cos a) - (-ln(cos0)) = -ln(cos a) Como cos ato0^+ quando atopi/2^-, temos -ln(cos a)to +infty. Logo essa parte diverge.

Passo 4

Analisando a parte de pi/2 até pi: seja btopi/2^+. Então
integralb^pitan(theta),dtheta =l[-lnlvertcos(theta)rvertr]b^pi = -lnlvertcospirvert + lnlvertcos brvert = 0 + ln(cos b) Como cos bto0 quando btopi/2^+, temos ln(cos b)to -infty. Então essa parte também diverge.

Passo 5

Concluindo: como as duas partes do intervalo apresentam divergência (e ainda em sentidos opostos), a integral imprópria integral0^pitan(theta),dtheta diverge.

Resposta

A integral integral0^pi tan(theta),dtheta diverge.

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