Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que serão diferenciadas e integradas ao longo do processo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
Aqui, escolhemos:
-
(que vamos derivar) -
(que vamos integrar)
Passo 3
Calculando
e
:
- Derivando
: - Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Calculando:
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral
usando integração por partes novamente:
Calculando:
Passo 9
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral é:
onde
é a constante de integração.