integral x^3 e^5 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^3 e^5 x , dx. Esse exercício envolve a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que serão diferenciadas e integradas ao longo do processo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, escolhemos:
  • u = x^3 (que vamos derivar)
  • dv = e^5x , dx (que vamos integrar)

Passo 3

Calculando du e v:
  • Derivando u: du = 3x^2 , dx
  • Integrando dv: v = 15 e^5x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^5x , dx = x^3 cdot 15 e^5x - integral 15 e^5x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= 15 x^3 e^5x - 35 integral x^2 e^5x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x^2 e^5x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes:
  • u = x^2
  • dv = e^5x , dx
Calculando:
  • du = 2x , dx
  • v = 15 e^5x

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^5x , dx = x^2 cdot 15 e^5x - integral 15 e^5x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 15 x^2 e^5x - 25 integral x e^5x , dx

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^3 e^5x , dx = 15 x^3 e^5x - 35 ( 15 x^2 e^5x - 25 integral x e^5x , dx )
Simplificando:
= 15 x^3 e^5x - 325 x^2 e^5x + 625 integral x e^5x , dx

Passo 8

Agora, resolvemos a integral integral x e^5x , dx usando integração por partes novamente:
  • u = x
  • dv = e^5x , dx
Calculando:
  • du = dx
  • v = 15 e^5x

Passo 9

Aplicando a fórmula:
integral x e^5x , dx = x cdot 15 e^5x - integral 15 e^5x , dx
Simplificando:
= 15 x e^5x - 125 e^5x

Passo 10

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^3 e^5x , dx = 15 x^3 e^5x - 325 x^2 e^5x + 625 ( 15 x e^5x - 125 e^5x )
Simplificando:
= 15 x^3 e^5x - 325 x^2 e^5x + 6125 x e^5x - 6625 e^5x

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x^3 e^5x , dx = e^5x ( x^35 - 3x^225 + 6x125 - 6625 ) + C
onde C é a constante de integração.

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