Determine as seguintes integrais definidas:
8.
\int_{0}^{4} \frac{\operatorname{cosh} (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \frac{\operatorname{cosh}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando: }\frac{\operatorname{cosh}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}},\qquad \text{intervalo: }x\in[0,4].
O objetivo é encontrar o valor numérico/exato dessa integral definida.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso sugere uma substituição): há uma \sqrt{x} no denominador e também dentro do argumento de \operatorname{cosh}(\cdot). Uma substituição que reduce essa raiz costuma facilitar muito. Fazemos a mudança de variável
u=\sqrt{x}.
Explico passo a passo essa substituição: como \,u=\sqrt{x}\, então x=u^{2}. Derivando ambos os lados obtemos dx=2u\,du. Note que a \sqrt{x} do denominador vira simplesmente u, e o dx traz um fator 2u\,du que vai cancelar esse u. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Transformação da integral com a substituição. Primeiro atualizamos os limites:
x=0\Longrightarrow u=0,\qquad x=4\Longrightarrow u=2.
Agora substituímos x=u^{2} e dx=2u\,du na integral:
\int_{0}^{4}\frac{\operatorname{cosh}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{2}\frac{\operatorname{cosh}(u+1)}{u}\cdot(2u)\,du.
Cancela o u no numerador/denominador e fica
\int_{0}^{4}\frac{\operatorname{cosh}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\,dx = 2\int_{0}^{2}\operatorname{cosh}(u+1)\,du.

Passo 4

Agora, como se integra \operatorname{cosh}? Vou te dar uma mini-aula rápida e direta sobre funções hiperbólicas (só o essencial):
  • Definição: \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.
    Da relação acima segue que a primitiva (antiderivada) de \operatorname{cosh} t é \operatorname{sinh} t:
\int \operatorname{cosh} t\,dt=\operatorname{sinh} t + C.
No nosso caso o integrando é \operatorname{cosh}(u+1). Como a derivada de u+1 é 1, a primitiva é simplesmente \operatorname{sinh}(u+1). Então
\int_{0}^{2}\operatorname{cosh}(u+1)\,du=\left[\operatorname{sinh}(u+1)\right]_{0}^{2}.

Passo 5

Avaliação da primitiva nos limites e simplificação final:
2\int_{0}^{2}\operatorname{cosh}(u+1)\,du =2\big(\operatorname{sinh}(2+1)-\operatorname{sinh}(0+1)\big) =2\big(\operatorname{sinh}(3)-\operatorname{sinh}(1)\big).
Se quiser, dá para escrever essa diferença de hiperbólicas usando uma identidade:
\operatorname{sinh}(3)-\operatorname{sinh}(1)=2\operatorname{cosh}(2)\operatorname{sinh}(1),
portanto a integral também pode ser expressa como
4\operatorname{cosh}(2)\operatorname{sinh}(1).
Ambas as formas são equivalentes; vou deixar a forma mais direta na resposta final.

Resposta

2\big(\operatorname{sinh}(3)-\operatorname{sinh}(1))

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