Determine as seguintes integrais definidas:
8.
8.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
O objetivo é encontrar o valor numérico/exato dessa integral definida.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso sugere uma substituição): há uma
no denominador e também dentro do argumento de
. Uma substituição que reduce essa raiz costuma facilitar muito. Fazemos a mudança de variável
Explico passo a passo essa substituição: como
então
. Derivando ambos os lados obtemos
. Note que a
do denominador vira simplesmente
, e o
traz um fator
que vai cancelar esse
. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Transformação da integral com a substituição. Primeiro atualizamos os limites:
Agora substituímos
e
na integral:
Cancela o
no numerador/denominador e fica
Passo 4
Agora, como se integra
? Vou te dar uma mini-aula rápida e direta sobre funções hiperbólicas (só o essencial):
- Definição:
e . - Derivadas básicas:
e .
Da relação acima segue que a primitiva (antiderivada) deé :
No nosso caso o integrando é
. Como a derivada de
é
, a primitiva é simplesmente
. Então
Passo 5
Avaliação da primitiva nos limites e simplificação final:
Se quiser, dá para escrever essa diferença de hiperbólicas usando uma identidade:
portanto a integral também pode ser expressa como
Ambas as formas são equivalentes; vou deixar a forma mais direta na resposta final.