Determine as seguintes integrais definidas:
7.
\int_{1}^{2} x e^{-x / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x e^{-x/2}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } x e^{-x/2},\qquad \text{limites: } x=1 \text{ até } x=2.é

Passo 2

Escolha do método: temos um produto entre um polinômio em x (que é x) e uma exponencial. Nesses casos o método mais direto é a fórmula de integração por partes. Vou usar a fórmula e explicar bem ela.
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando: escolhemos duas partes da integranda, u e dv. Calculamos du (a derivada de u vezes dx) e v (uma primitiva de dv). A escolha costuma ser: tomar u como a parte que se simplifica ao derivar (por exemplo polinômios) e dv o resto.
Aqui escolho
u = x,\qquad dv = e^{-x/2}\,dx,
pois derivando u fica simples ( du = dx) e dv tem primitiva conhecida.

Passo 3

Calcular v, isto é, uma primitiva de dv. Temos que integrar a exponencial com coeficiente linear no expoente. Usamos a fórmula geral
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x}\quad (a\neq 0).
No nosso caso a = -\tfrac{1}{2}. Logo
v = \int e^{-x/2}\,dx = \frac{1}{-1/2} e^{-x/2} = -2 e^{-x/2}.
Também temos
du = dx.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int x e^{-x/2}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{-x/2}\,dx = x\bigl(-2 e^{-x/2}\bigr) - \int \bigl(-2 e^{-x/2}\bigr)\,dx.
Isso é
\int x e^{-x/2}\,dx = -2x e^{-x/2} + 2\int e^{-x/2}\,dx.
Já calculamos \int e^{-x/2}\,dx no passo anterior: é -2 e^{-x/2}. Então
\int x e^{-x/2}\,dx = -2x e^{-x/2} + 2\bigl(-2 e^{-x/2}\bigr) + C.
Simplificando:
\int x e^{-x/2}\,dx = -2 e^{-x/2}\,(x+2) + C.
Vou usar essa primitiva para avaliar a integral definida.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites 1 e 2. Seja
F(x) = -2 e^{-x/2}\,(x+2).
Então
\int_{1}^{2} x e^{-x/2}\,dx = F(2)-F(1).
Calcule F(2):
F(2) = -2 e^{-2/2}\,(2+2) = -2 e^{-1}\cdot 4 = -8 e^{-1}.
Calcule F(1):
F(1) = -2 e^{-1/2}\,(1+2) = -2 e^{-1/2}\cdot 3 = -6 e^{-1/2}.
Agora a diferença:
F(2)-F(1) = -8 e^{-1} - (-6 e^{-1/2}) = 6 e^{-1/2} - 8 e^{-1}.
Uma forma alternativa (fatorando) é
6 e^{-1/2} - 8 e^{-1} = 2 e^{-1}\bigl(3 e^{1/2} - 4\bigr),
mas ambas representam o mesmo valor exato.

Resposta

6 e^{-1/2} - 8 e^{-1}

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