Determine as seguintes integrais definidas:
7.
7.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Passo 2
Escolha do método: temos um produto entre um polinômio em
(que é
) e uma exponencial. Nesses casos o método mais direto é a fórmula de integração por partes. Vou usar a fórmula e explicar bem ela.
Fórmula de integração por partes:
Explicando: escolhemos duas partes da integranda,
e
. Calculamos
(a derivada de
vezes
) e
(uma primitiva de
). A escolha costuma ser: tomar
como a parte que se simplifica ao derivar (por exemplo polinômios) e
o resto.
Aqui escolho
pois derivando
fica simples (
) e
tem primitiva conhecida.
Passo 3
Calcular
, isto é, uma primitiva de
. Temos que integrar a exponencial com coeficiente linear no expoente. Usamos a fórmula geral
No nosso caso
. Logo
Também temos
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Isso é
Já calculamos
no passo anterior: é
. Então
Simplificando:
Vou usar essa primitiva para avaliar a integral definida.
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
. Seja
Então
Calcule
:
Calcule
:
Agora a diferença:
Uma forma alternativa (fatorando) é
mas ambas representam o mesmo valor exato.