Determine as áreas delimitadas:
4. Pela função f(x)=x^{2}-4 e a reta y=5.

Passo 1

O enunciado pede: determiner as áreas delimitadas pela função f(x)=x^{2}-4 e pela reta y=5.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função dada é f(x)=x^{2}-4.
  • A reta dada é y=5.
  • Queremos a(s) área(s) da(s) região(ões) onde essas duas curvas se interceptam e fecham uma região no plano.

Passo 2

Primeiro passo prático: achar os pontos de interseção entre as duas curvas (esses pontos vão ser os limites de integração). Para isso igualamos as duas expressões de y:
x^{2}-4 = 5.
Resolvendo:
x^{2} = 9,
portanto
x = -3 \quad\text{ou}\quad x = 3.

Passo 3

Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima da outra entre os pontos de interseção. Avaliando em um ponto interior, por exemplo x=0:
f(0)=0^{2}-4=-4,
e a reta vale y=5. Como -4 < 5, a reta y=5 está acima do arco da parábola entre x=-3 e x=3. Logo a área procurada é a integral da função topo menos função inferior, isto é, 5-(x^{2}-4).

Passo 4

Montamos a integral definida que dá a área entre as curvas nos limites x=-3 e x=3:
A=\int_{-3}^{3}\bigl(5-(x^{2}-4)\bigr)\,dx.

Passo 5

Simplificamos o integrando por álgebra:
5-(x^{2}-4)=5-x^{2}+4=9-x^{2}.
Portanto a integral fica
A=\int_{-3}^{3}\bigl(9-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Observação útil (economiza cálculo): a função g(x)=9-x^{2} é uma função par (isto é, g(-x)=g(x)). Para integrais simétricas em torno de zero com integrando par vale
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
Assim podemos escrever
A = 2\int_{0}^{3}\bigl(9-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 7

Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de 9-x^{2}. Usamos regras básicas de integração: a integral de uma constante c é cx e a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicando isso:
\int\bigl(9-x^{2}\bigr)\,dx = 9x - \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 8

Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada. Primeiro sem multiplicar por 2:
\int_{0}^{3}\bigl(9-x^{2}\bigr)\,dx = \left[9x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}.
Calculando nos limites:
\left(9\cdot 3 - \frac{3^{3}}{3}\right) - \left(9\cdot 0 - \frac{0^{3}}{3}\right) = \left(27 - \frac{27}{3}\right) - 0 = 27 - 9 = 18.
Agora multiplicamos por 2 (por causa da simetria):
A = 2\cdot 18 = 36.

Passo 9

Interpretação final rápida: a área entre a parábola y=x^{2}-4 e a reta y=5 entre as interseções em x=-3 e x=3 é positiva e igual a 36. Isso faz sentido porque a região é simétrica em torno do eixo y e tem dimensão compatível com os valores envolvidos.

Resposta

36

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