Determine as áreas delimitadas:
4. Pela função
e a reta
.
4. Pela função
Passo 1
O enunciado pede: determiner as áreas delimitadas pela função
e pela reta
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função dada é
. - A reta dada é
. - Queremos a(s) área(s) da(s) região(ões) onde essas duas curvas se interceptam e fecham uma região no plano.
Passo 2
Primeiro passo prático: achar os pontos de interseção entre as duas curvas (esses pontos vão ser os limites de integração). Para isso igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo:
portanto
Passo 3
Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima da outra entre os pontos de interseção. Avaliando em um ponto interior, por exemplo
:
e a reta vale
. Como
, a reta
está acima do arco da parábola entre
e
. Logo a área procurada é a integral da função topo menos função inferior, isto é,
.
Passo 4
Montamos a integral definida que dá a área entre as curvas nos limites
e
:
Passo 5
Simplificamos o integrando por álgebra:
Portanto a integral fica
Passo 6
Observação útil (economiza cálculo): a função
é uma função par (isto é,
). Para integrais simétricas em torno de zero com integrando par vale
Assim podemos escrever
Passo 7
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de
. Usamos regras básicas de integração: a integral de uma constante
é
e a integral de
é
. Aplicando isso:
Passo 8
Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada. Primeiro sem multiplicar por
:
Calculando nos limites:
Agora multiplicamos por
(por causa da simetria):
Passo 9
Interpretação final rápida: a área entre a parábola
e a reta
entre as interseções em
e
é positiva e igual a
. Isso faz sentido porque a região é simétrica em torno do eixo
e tem dimensão compatível com os valores envolvidos.