Determine as seguintes integrais definidas:
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico da integral definida entre esses limites.
Não resolvemos nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, um mini-aula sobre ela (bem tranquila):
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto para derivação. Se e
, a regra do produto diz
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto para derivação. Se
Integrando dos limites
a
e isolando o termo que queremos, obtemos a fórmula para integrais indefinidas
onde
significa
e
significa
. Em palavras: escolhemos uma parte
que fique mais simples ao derivar, e
é o resto que sabemos integrar para obter
. Aqui
são funções relacionadas:
é a diferencial de
e
é uma antiderivada de
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, fazemos a escolha clássica (porque ao derivar
fica mais simples):
Agora calculamos
e
:
Para achar
precisamos integrar
:
Lembrete rápido: a derivada de
é
(regra da cadeia). Portanto uma antiderivada de
é
. Assim
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes (para a integral indefinida):
Substituindo
,
e
:
Isso simplifica para
Passo 5
Calculamos a integral restante. Uma antiderivada de
é
(pela mesma regra da cadeia), então
Portanto uma primitiva do integrando é
Passo 6
Como queremos a integral definida de
a
, avaliamos
nesses limites e subtraímos:
Passo 7
Calculamos
em cada ponto. Primeiro em
:
- Observe que
. Por periodicidade,
Assim
Agora em
:
logo
Passo 8
Tomando a diferença:
Mandinho um incentivo: já viu como a integração por partes pode ser direta quando escolhemos
que fica mais simples ao derivar? Você conseguiu!