Determine as seguintes integrais definidas:
5.
\int_{0}^{\pi / 2} x \operatorname{sen}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x\operatorname{sen}(5x).
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/2.
  • Queremos o valor numérico da integral definida entre esses limites.
    Não resolvemos nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, um mini-aula sobre ela (bem tranquila):
A fórmula da integração por partes vem da regra do produto para derivação. Se u=u(x) e v=v(x), a regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando dos limites a a b e isolando o termo que queremos, obtemos a fórmula para integrais indefinidas
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde du significa u'(x)\,dx e dv significa v'(x)\,dx. Em palavras: escolhemos uma parte u que fique mais simples ao derivar, e dv é o resto que sabemos integrar para obter v. Aqui u,v,du,dv são funções relacionadas: du é a diferencial de u e v é uma antiderivada de dv.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, fazemos a escolha clássica (porque ao derivar x fica mais simples):
u = x,\qquad dv = \operatorname{sen}(5x)\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = dx.
Para achar v precisamos integrar dv:
v=\int \operatorname{sen}(5x)\,dx.
Lembrete rápido: a derivada de \cos(5x) é -5\operatorname{sen}(5x) (regra da cadeia). Portanto uma antiderivada de \operatorname{sen}(5x) é -\tfrac{1}{5}\cos(5x). Assim
v = -\frac{1}{5}\cos(5x).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes (para a integral indefinida):
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = x\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) - \int \left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right)\,dx.
Isso simplifica para
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x}{5}\cos(5x) + \frac{1}{5}\int \cos(5x)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral restante. Uma antiderivada de \cos(5x) é \tfrac{1}{5}\sin(5x) (pela mesma regra da cadeia), então
\frac{1}{5}\int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)=\frac{1}{25}\sin(5x).
Portanto uma primitiva do integrando é
F(x) = -\frac{x}{5}\cos(5x) + \frac{1}{25}\sin(5x).

Passo 6

Como queremos a integral definida de 0 a \pi/2, avaliamos F nesses limites e subtraímos:
\int_{0}^{\pi/2} x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0).

Passo 7

Calculamos F em cada ponto. Primeiro em x=\pi/2:
  • Observe que 5\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}. Por periodicidade,
\cos\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \sin\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Assim
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi/2}{5}\cdot 0 + \frac{1}{25}\cdot 1 = \frac{1}{25}.
Agora em x=0:
\cos(0)=1,\qquad \sin(0)=0,
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F(0) = -\frac{0}{5}\cdot 1 + \frac{1}{25}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Tomando a diferença:
\int_{0}^{\pi/2} x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=\frac{1}{25}-0=\frac{1}{25}.
Mandinho um incentivo: já viu como a integração por partes pode ser direta quando escolhemos u que fica mais simples ao derivar? Você conseguiu!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{25}

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