Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
5.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
converge; caso converja, calcular o valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (dada pelo próprio enunciado): o ponto
está dentro do intervalo
e torna o denominador nulo, portanto a integral é imprópria por causa de uma singularidade interior em
.
Passo 2
Como a singularidade está num ponto interior do intervalo, usamos a definição de integral imprópria dividindo a integral no ponto de singularidade e tomando limites laterais. Escrevemos
Cada uma dessas integrais (a da esquerda e a da direita) precisa convergir para que a integral total converja.
Passo 3
Vou aplicar um teste simples de tipo
para singularidades: perto de
a função tem comportamento do tipo
com
. Lembrando o fato padrão:
porque
é finito exatamente quando
. Aqui temos
, portanto a singularidade é integrável (cada parcela lateral tem chance de convergir). Isso indica que as duas integrais improprias laterais devem convergir; ainda assim eu vou calcular explicitamente cada uma usando uma primitiva.
Passo 4
Calcular a primitiva: para a potência
vale a regra da potência (válida quando o expoente não é
):
Tomando
obtemos
e, portanto, uma primitiva é
Aqui
indica a raiz cúbica real de
, que está bem definida para argumentos positivos e negativos (ao contrário da raiz quadrada). Essa primitiva pode ser utilizada em cada intervalo que não cruza
.
Passo 5
Calcular a integral à esquerda (de
até
, tomando o limite pela esquerda). Usando a primitiva e o limite:
Avalio a expressão:
Como
, obtemos para a parcela esquerda o valor
Passo 6
Calcular a integral à direita (de
até
, tomando o limite pela direita). De modo análogo:
Avalio o limite:
Portanto a parcela direita vale
Passo 7
Como as duas parcelas
e
são finitas (veja os valores calculados nos passos anteriores), a integral imprópria original converge. O valor total é a soma das duas parcelas: