Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
5.
\int_{-2}^{7} \frac{d x}{(x-1)^{2 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{-2}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}
converge; caso converja, calcular o valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{intervalo: }[-2,7],\qquad \text{integrando: }\frac{1}{(x-1)^{2/3}}.
Observação importante (dada pelo próprio enunciado): o ponto \,x=1 está dentro do intervalo [-2,7] e torna o denominador nulo, portanto a integral é imprópria por causa de uma singularidade interior em \,x=1.

Passo 2

Como a singularidade está num ponto interior do intervalo, usamos a definição de integral imprópria dividindo a integral no ponto de singularidade e tomando limites laterais. Escrevemos
\int_{-2}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\lim_{a\to1^-}\int_{-2}^{a}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}+\lim_{b\to1^+}\int_{b}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}.
Cada uma dessas integrais (a da esquerda e a da direita) precisa convergir para que a integral total converja.

Passo 3

Vou aplicar um teste simples de tipo p para singularidades: perto de x=1 a função tem comportamento do tipo |x-1|^{-p} com p=\tfrac{2}{3}. Lembrando o fato padrão:
\int_{0}^{\varepsilon} x^{-p}\,dx \quad\text{converge se, e somente se,}\quad p<1,
porque
\int_{0}^{\varepsilon} x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{0}^{\varepsilon}
é finito exatamente quando 1-p>0. Aqui temos p=\tfrac{2}{3}<1, portanto a singularidade é integrável (cada parcela lateral tem chance de convergir). Isso indica que as duas integrais improprias laterais devem convergir; ainda assim eu vou calcular explicitamente cada uma usando uma primitiva.

Passo 4

Calcular a primitiva: para a potência m=-\tfrac{2}{3} vale a regra da potência (válida quando o expoente não é -1):
\int (x-1)^{m}\,dx=\frac{(x-1)^{m+1}}{m+1}+C.
Tomando m=-\tfrac{2}{3} obtemos m+1=\tfrac{1}{3} e, portanto, uma primitiva é
F(x)=\frac{(x-1)^{1/3}}{1/3}=3\,(x-1)^{1/3}.
Aqui (x-1)^{1/3} indica a raiz cúbica real de x-1, que está bem definida para argumentos positivos e negativos (ao contrário da raiz quadrada). Essa primitiva pode ser utilizada em cada intervalo que não cruza x=1.

Passo 5

Calcular a integral à esquerda (de -2 até 1, tomando o limite pela esquerda). Usando a primitiva e o limite:
\int_{-2}^{1}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\lim_{a\to1^-}\big[\,3(x-1)^{1/3}\big]_{x=-2}^{x=a}.
Avalio a expressão:
\lim_{a\to1^-}3\big((a-1)^{1/3}-( -2-1)^{1/3}\big)=3\big(0-( -3)^{1/3}\big).
Como ( -3)^{1/3}=-\sqrt[3]{3}, obtemos para a parcela esquerda o valor
L=3\sqrt[3]{3}.

Passo 6

Calcular a integral à direita (de 1 até 7, tomando o limite pela direita). De modo análogo:
\int_{1}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=\lim_{b\to1^+}\big[\,3(x-1)^{1/3}\big]_{x=b}^{x=7}.
Avalio o limite:
\lim_{b\to1^+}3\big((7-1)^{1/3}-(b-1)^{1/3}\big)=3\big(\sqrt[3]{6}-0\big).
Portanto a parcela direita vale
R=3\sqrt[3]{6}.

Passo 7

Como as duas parcelas L e R são finitas (veja os valores calculados nos passos anteriores), a integral imprópria original converge. O valor total é a soma das duas parcelas:
\int_{-2}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2/3}}=L+R.

Resposta

3\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{6}

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