Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:
integral1^infty x^-1 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral1^infty x^-1/2,dx
Este é um caso típico de integral do tipo p, em que
integral1^infty x^-p,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=tfrac12, mas vamos confirmar calculando o valor via limite.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite
integral1^infty x^-1/2,dx = limbtoinfty integral1^b x^-1/2,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^-1/2. Para alphaneq -1 vale
integral x^alpha,dx = x^alpha+1alpha+1 + C
Aqui alpha=-tfrac12, logo
integral x^-1/2,dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/2tfrac12 = 2x^1/2

Passo 4

Aplicando os limites de 1 a b obtemos
integral1^b x^-1/2,dx = l[2x^1/2r]1^b = 2l(raizb-1r)
Tomando btoinfty:
limbtoinfty2l(raizb-1r) = infty,
portanto o valor diverge.

Resposta

A integral integral1^infty x^-1/2,dx diverge.

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