(star) Prove que integral0^b x^2 d x=b^33, considerando partições em n sub-intervalos iguais, usando a fórmula
sumi=1^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^b x^2,dx
usando partições em n sub-intervalos iguais e a fórmula
sumi=1^ni^2=n(n+1)(2n+1)6
O conteúdo aqui é a definição de integral de Riemann para funções contínuas e o uso de somatórios.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,b] em n partes iguais. Cada sub-intervalo tem comprimento
De<a x = bn,
e os pontos da partição são
xi = i,bn, i=0,1,2,dots,n

Passo 3

A soma de Riemann pelo ponto à direita em cada sub-intervalo é
Sn ;=;sumi=1^n f(xi),De<a x ;=;sumi=1^n l(xir)^2,bn

Passo 4

Como xi = i,bn, temos
l(xir)^2,bn =l(i^2,b^2n^2r),bn = i^2,b^3n^3
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Sn =sumi=1^n i^2,b^3n^3 =b^3n^3sumi=1^ni^2

Passo 5

Substituindo a soma de quadrados,
sumi=1^ni^2 =n(n+1)(2n+1)6,
obtemos
Sn =b^3n^3cdotn(n+1)(2n+1)6 =b^36,n(n+1)(2n+1)n^3

Passo 6

Como xmapsto x^2 é contínua em [0,b], a integral é o limite de Sn quando ntoinfty. Note que
n(n+1)(2n+1)n^3 =2n^3+3n^2+nn^3 =2 + 3n + 1n^2 ;longrightarrow;2 quando ntoinfty
Portanto
limntoinftySn =b^36cdot 2 =b^33

Resposta

integral0^b x^2,dx = b^33

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