Questão 3 (1,0 ponto). Verifique se a função f(x, y) é contínua na origem (0,0), com f(x, y)=rr-3 x^2 y^2+x^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac-3x^2y^2+x^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar a definição de continuidade em várias variáveis: é preciso checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e, em caso afirmativo, se é igual a f(0,0)=1.]

Passo 2

Vamos calcular o limite ao longo da reta y=0. Se y=0 e (x,0)neq(0,0), temos
f(x,0)=-3x^2cdot0^2+x^2x^2+0^2 =x^2x^2=1
Logo
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=1

Passo 3

Agora calculamos o limite ao longo da reta x=0. Se x=0 e (0,y)neq(0,0),
f(0,y)=-3cdot0^2y^2+0^20^2+y^2 =0y^2=0
Logo
lim(0,y)to(0,0)f(0,y)=0

Passo 4

Observamos que pelos dois caminhos obtivemos limites diferentes:
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=1 e lim(0,y)to(0,0)f(0,y)=0
Como esses valores não coincidem, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Consequentemente, não pode ser igual a f(0,0)=1, e f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua na origem (0,0).

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