Determine as seguintes integrais indefinidas:
f)
rf)
f)
rf)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A função integranda é
. - O domínio natural da integranda é
(pela presença de no denominador). - A resposta deve ser uma primitiva, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração
.
Passo 2
Simplificar a expressão antes de integrar para ficar mais fácil de aplicar regras básicas. Usamos a propriedade de que uma soma dividida por
pode ser separada em duas frações:
Agora calcule cada fração:
Portanto a integranda fica
Passo 3
Aplicar a linearidade da integral e a regra da potência para integrar termo a termo.
Lembretes importantes (com explicação curta):
- Linearidade:
. Ou seja, pode-se integrar cada parcela separadamente. - Regra da potência: para
,
Aqui
é um número real que representa o expoente de
. Não podemos usar essa fórmula se
(caso
), porque aí surge o logaritmo natural.
Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Calcular cada integral:
- Para
: é direto, a primitiva de é , pois . Assim
- Para
: aqui , aplicando a regra da potência,
Escrevendo
como
, obtemos
.
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma só
):
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva encontrada está correta):
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
A derivada coincide com a integranda, logo a primitiva está correta.