Determine as seguintes integrais indefinidas:
f) \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}} d x
rf) x-\frac{1}{x}+C

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  • O domínio natural da integranda é x\neq0 (pela presença de x^{2} no denominador).
  • A resposta deve ser uma primitiva, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Simplificar a expressão antes de integrar para ficar mais fácil de aplicar regras básicas. Usamos a propriedade de que uma soma dividida por x^{2} pode ser separada em duas frações:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}.
Agora calcule cada fração:
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\qquad \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Portanto a integranda fica
\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=1+x^{-2}.

Passo 3

Aplicar a linearidade da integral e a regra da potência para integrar termo a termo.
Lembretes importantes (com explicação curta):
  • Linearidade: \displaystyle \int (a(x)+b(x))\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx. Ou seja, pode-se integrar cada parcela separadamente.
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real que representa o expoente de x. Não podemos usar essa fórmula se n=-1 (caso x^{-1}), porque aí surge o logaritmo natural.
Aplicando ao nosso caso:
\int \left(1+x^{-2}\right)\,dx=\int 1\,dx+\int x^{-2}\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral:
  • Para \displaystyle \int 1\,dx: é direto, a primitiva de 1 é x, pois \dfrac{d}{dx}x=1. Assim
\int 1\,dx = x.
  • Para \displaystyle \int x^{-2}\,dx: aqui n=-2, aplicando a regra da potência,
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C.
Escrevendo x^{-1} como \dfrac{1}{x}, obtemos -\dfrac{1}{x}.
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma só C):
\int \left(1+x^{-2}\right)\,dx = x - \frac{1}{x} + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva encontrada está correta):
Calcule a derivada de x-\dfrac{1}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(x-\frac{1}{x}\right)=1-\left(-1\right)x^{-2}=1+x^{-2}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}.
A derivada coincide com a integranda, logo a primitiva está correta.

Resposta

x-\dfrac{1}{x}+C

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