Determine as seguintes integrais indefinidas:
c)
rc)
c)
rc)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Foi também apresentada uma possível resposta:
. Vamos verificar e justificar passo a passo.
Passo 2
Escolha do método: existe mais de uma maneira de integrar this função. A mais direta aqui é primeiro expandir o quadrado e depois integrar termo a termo. Isso é simples, usa só álgebra elementar e a regra de potência para integrais, e evita substituições desnecessárias.
Breve lembrete útil: para um polinômio, é quase sempre mais simples expandir e integrar termo a termo.
Passo 3
Expandir o quadrado usando a identidade
. Tomando
e
, obtemos
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 4
Propriedades que vamos usar:
- Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
- Regra da potência (fórmula básica de integração): para
,
Aqui
é o expoente da potência; a fórmula diz que para integrar
aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.
Passo 5
Aplicando a linearidade e a regra da potência aos termos do polinômio
:
- Para o primeiro termo,
- Para o segundo termo,
- Para o terceiro termo (constante),
Passo 6
Somando os resultados dos termos e adicionando a constante de integração
, obtemos
Isso coincide com a resposta proposta.