Determine as seguintes integrais indefinidas:
c) \int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x
rc) \frac{4}{5} x^{5}-4 x^{3}+9 x+C

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} dx.
Foi também apresentada uma possível resposta: \frac{4}{5} x^{5}-4 x^{3}+9 x+C. Vamos verificar e justificar passo a passo.

Passo 2

Escolha do método: existe mais de uma maneira de integrar this função. A mais direta aqui é primeiro expandir o quadrado e depois integrar termo a termo. Isso é simples, usa só álgebra elementar e a regra de potência para integrais, e evita substituições desnecessárias.
Breve lembrete útil: para um polinômio, é quase sempre mais simples expandir e integrar termo a termo.

Passo 3

Expandir o quadrado usando a identidade (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Tomando a=2x^2 e b=3, obtemos
(2x^2-3)^2=(2x^2)^2-2\cdot(2x^2)\cdot3+3^2.
Calculando cada termo:
(2x^2)^2=4x^4,\qquad -2\cdot(2x^2)\cdot3=-12x^2,\qquad 3^2=9.
Portanto
(2x^2-3)^2=4x^4-12x^2+9.

Passo 4

Propriedades que vamos usar:
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
  • Regra da potência (fórmula básica de integração): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência; a fórmula diz que para integrar x^n aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 5

Aplicando a linearidade e a regra da potência aos termos do polinômio 4x^4-12x^2+9:
  1. Para o primeiro termo,
\int 4x^4\,dx = 4\int x^4\,dx = 4\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{4}{5}x^{5}.
  1. Para o segundo termo,
\int (-12x^2)\,dx = -12\int x^2\,dx = -12\cdot\frac{x^{3}}{3}=-4x^{3}.
  1. Para o terceiro termo (constante),
\int 9\,dx = 9x.

Passo 6

Somando os resultados dos termos e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int(2x^{2}-3)^{2}\,dx=\frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C.
Isso coincide com a resposta proposta.

Resposta

\frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C

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