Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por:
\operatorname{Eixo}-x, x=0, x=\pi e y=\cos x

Passo 1

O enunciado dá as curvas e retas que limitam as regiões:
  • Eixo-x, isto é a reta y=0.
  • As retas verticais x=0 e x=\pi.
  • A curva y=\cos x.
O que o problema pede: calcular a(s) área(s) das regiões limitadas por essas curvas no intervalo 0\le x\le\pi. Observações importantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
  • O intervalo em x é [0,\pi].
  • A curva y=\cos x pode estar acima ou abaixo do eixo x nesse intervalo; isso irá dividir a região em partes.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x em um intervalo [a,b] é dada por
\text{área}=\int_a^b |f(x)|\,dx.á
Se f(x)\ge 0 em [a,b], a área é \int_a^b f(x)\,dx. Se f(x)\le 0, a área é \int_a^b -f(x)\,dx.
Por que isso funciona (breve): a integral definida \int_a^b f(x)\,dx dá a “área algébrica” (área acima do eixo positiva, abaixo negativa). Para obter área geométrica (sempre positiva) usamos o valor absoluto de f.
Fato útil sobre antiderivadas que vamos usar: uma antiderivada de \cos x é \sin x, porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular \int_a^b \cos x\,dx fazemos \sin x\big|_a^b=\sin b-\sin a.

Passo 3

Identificar onde \cos x muda de sinal no intervalo [0,\pi]. Resolvemos \cos x=0 para x em [0,\pi]:
\cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}.
Portanto o intervalo [0,\pi] divide-se em duas sub-intervalos com comportamento diferente:
  • Em [0,\tfrac{\pi}{2}] tem-se \cos x\ge 0 (a curva está acima do eixo x).
  • Em [\tfrac{\pi}{2},\pi] tem-se \cos x\le 0 (a curva está abaixo do eixo x).
Essas são as duas regiões pedidas: uma entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} e outra entre x=\tfrac{\pi}{2} e x=\pi.

Passo 4

Calcular a área da região entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} onde \cos x\ge 0.
Usamos a fórmula direta (sem valor absoluto pois \cos x\ge0):
A_1=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\,dx.
Aplicando a antiderivada \sin x:
A_1=\sin x\Big|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
Interpretação: a área da parte acima do eixo é \,1 unidade quadrada.

Passo 5

Calcular a área da região entre x=\tfrac{\pi}{2} e x=\pi onde \cos x\le 0.
Aqui usamos |\cos x|=-\cos x porque \cos x é negativo nesse intervalo. Assim
A_2=\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} -\cos x\,dx.
A antiderivada de -\cos x é -\sin x, então
A_2=-\sin x\Big|_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}= -\big(\sin\pi-\sin\!\tfrac{\pi}{2}\big)=-(0-1)=1.
Interpretação: a área da parte abaixo do eixo (tomada como positiva) também é \,1 unidade quadrada.

Passo 6

Área total entre a curva e o eixo x no intervalo [0,\pi] (somando as duas regiões):
A_{\text{total}}=A_1+A_2=1+1=2.
Como checagem alternativa, poderia calcular \int_0^{\pi}|\cos x|\,dx e obter o mesmo resultado, ou observar a simetria de \cos x em torno de x=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

A_1=1
A_2=1
A_{\text{total}}=2

Exercícios relacionados