Exercício 10. Calcule a área das regiões limitadas por: \operatorname{Eixo}-x, x=0, x=\pi e y=\cos x
Passo 1
O enunciado dá as curvas e retas que limitam as regiões:
Eixo-x, isto é a reta y=0.
As retas verticais x=0 e x=\pi.
A curva y=\cos x.
O que o problema pede: calcular a(s) área(s) das regiões limitadas por essas curvas no intervalo 0\le x\le\pi. Observações importantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
O intervalo em x é [0,\pi].
A curva y=\cos x pode estar acima ou abaixo do eixo x nesse intervalo; isso irá dividir a região em partes.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x em um intervalo [a,b] é dada por
\text{área}=\int_a^b |f(x)|\,dx.
Se f(x)\ge 0 em [a,b], a área é \int_a^b f(x)\,dx. Se f(x)\le 0, a área é \int_a^b -f(x)\,dx.
Por que isso funciona (breve): a integral definida \int_a^b f(x)\,dx dá a “área algébrica” (área acima do eixo positiva, abaixo negativa). Para obter área geométrica (sempre positiva) usamos o valor absoluto de f.
Fato útil sobre antiderivadas que vamos usar: uma antiderivada de \cos x é \sin x, porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular \int_a^b \cos x\,dx fazemos \sin x\big|_a^b=\sin b-\sin a.
Passo 3
Identificar onde \cos x muda de sinal no intervalo [0,\pi]. Resolvemos \cos x=0 para x em [0,\pi]:
\cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}.
Portanto o intervalo [0,\pi] divide-se em duas sub-intervalos com comportamento diferente:
Em [0,\tfrac{\pi}{2}] tem-se \cos x\ge 0 (a curva está acima do eixo x).
Em [\tfrac{\pi}{2},\pi] tem-se \cos x\le 0 (a curva está abaixo do eixo x).
Essas são as duas regiões pedidas: uma entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} e outra entre x=\tfrac{\pi}{2} e x=\pi.
Passo 4
Calcular a área da região entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} onde \cos x\ge 0.
Usamos a fórmula direta (sem valor absoluto pois \cos x\ge0):
Interpretação: a área da parte abaixo do eixo (tomada como positiva) também é \,1 unidade quadrada.
Passo 6
Área total entre a curva e o eixo x no intervalo [0,\pi] (somando as duas regiões):
A_{\text{total}}=A_1+A_2=1+1=2.
Como checagem alternativa, poderia calcular \int_0^{\pi}|\cos x|\,dx e obter o mesmo resultado, ou observar a simetria de \cos x em torno de x=\tfrac{\pi}{2}.