lim x 3 x^4-9 x^2+4 x-12(x-3)(4-x)

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 da seguinte expressão:
x
Matéria envolvida: Cálculo de limites, especialmente lidando com formas indeterminadas como $ \frac{0}{0} $.
O que vamos precisar: Saber como fatorar polinômios e simplificar expressões para resolver limites que inicialmente dão uma forma indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 3 $ na expressão para ver o que acontece:
x = 3
Explicação: Quando substituímos $ x = 3 $, tanto o numerador quanto o denominador dão zero, resultando na forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos focar no numerador: $ x^{4} - 9x^{2} + 4x - 12 $. Queremos fatorar esse polinômio. Sabemos que $ x = 3 $ é uma raiz porque substituímos e obteve zero. Portanto, $ (x - 3) $ é um fator.
Como fatorar: Usamos a divisão polinomial ou a Regra de Ruffini para dividir o numerador por $ (x - 3) $.

Passo 4

Aplicando a Regra de Ruffini:
Dividindo $ x^{4} - 9x^{2} + 4x - 12 $ por $ (x - 3) $, obtemos:
x^4 - 9x^2 + 4x - 12
Explicação: Após a divisão, o numerador fica fatorado como um produto de $ (x - 3) $ e $ (x^{3} + 3x^{2} + 4) $.

Passo 5

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
(x - 3)(x^3 + 3x^2 + 4)(x - 3)(4 - x)
Simplificação: Podemos cancelar o fator $ (x - 3) $ que está tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 6

Após cancelar $ (x - 3) $, a expressão fica:
(x - 3)
Observação: Agora, ao substituir $ x = 3 $, o denominador não será zero, o que facilita o cálculo do limite.

Passo 7

Vamos substituir $ x = 3 $ na expressão simplificada:
x = 3

Resposta

O limite é igual a 58.

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